Processus adapté

Dans l’étude des processus stochastiques, un processus adapté est un processus qui ne peut pas «voir l’avenir». Une interprétation informelle est qu'un processus X est adapté si et seulement si, pour chaque réalisation et chaque n, X _n est connu au temps n . Le concept de processus adapté est essentiel, par exemple, dans la définition de l'intégrale d'Itô, qui n'a de sens que si l'intégrant est un processus adapté.

Définition

Soient

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ un espace de probabilité ;
• $I$ l'ensemble des indices (souvent $I$est $\mathbb{N}$, ${\mathbb{N}}_0$, $[0,T]$ou $[0,+\mathrm{\infty })$)
• ${ℱ}_{\cdot }={\left({ℱ}_i\right)}_{i\in I}$une filtration de la σ-algèbre $ℱ$;
• $(S,\mathrm{\Sigma })$un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $X:I\times \mathrm{\Omega }\to S$ un processus stochastique .

Le processus $X$ est dit adapté à la filtration ${\left({ℱ}_i\right)}_{i\in I}$ si la variable aléatoire $X_i:\mathrm{\Omega }\to S$ est une $({ℱ}_i,\mathrm{\Sigma })$- fonction mesurable pour chaque $i\in I$.

Voir également

• Processus prévisible
• Processus progressivement mesurable