Théorème de Bateman

Le théorème de Bateman, publié en 1972, fournit un développement asymptotique de la moyenne du nombre d'antécédents de la fonction indicatrice d'Euler, que l'on note $\phi$ par la suiteModèle:,.

Énoncé

Notons $a_n:=\text{card}\{m\in {\mathbb{N}}^{*},\phi (m)=n\}$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $\mathrm{\Phi }(x):=\sum _{n⩽x}{a}_n$ pour $x⩾0$, il existe alors une constante $c>0$ telle que

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}x+𝒪\left(x{e}^{-c\sqrt{\ln x}}\right)$

Notons que $a_n$ est fini pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. En effet, d'après l'estimation $\phi (m)>\frac{e^{-\gamma }m}{\ln \ln m}(1+o(1))$ où $\gamma$ désigne la constante d'Euler-Mascheroni, on a $\phi (m)>n$ dès lors que $m>(e^{\gamma }+o(1))n\ln \ln n$ donc $a_n⩽(e^{\gamma }+o(1))n\ln \ln n$.

Démonstration

Dans toute la suite, on désigne par $s$ un nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement $\sigma$ et $\tau$.

Série de Dirichlet associée

La série $\sum _{m⩾1}\frac{1}{\phi (m{)}^s}$ converge absolument sur le demi-plan complexe $\sigma >1$ d'après l'inégalité précédente. Notons $F$ la série de Dirichlet associée à $a_n$, la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets : $F(s)=\sum _{m⩾1}\frac{1}{\phi (m{)}^s}$, on en déduit que le produit eulérien de $F$ s'écrit

$F(s)=\prod _p(1+\frac{1}{(p-1{)}^s(1-p^{-s})})$

où dans le produit $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers.

Lien avec la fonction zêta de Riemann

En utilisant le produit eulérien de la fonction $\zeta$, on a $F(s)=\zeta (s)G(s)$ pour $\sigma >1$ où le produit $G(s)$ est défini par

$G(s)=\prod _p(1+\frac{1}{(p-1{)}^s}-\frac{1}{p^s})$

Notons que le produit définissant $G(s)$ est absolument convergent dans le demi-plan complexe $\sigma >0$ d'après l'inégalité

$|\frac{1}{(p-1{)}^s}-\frac{1}{p^s}|⩽\min (2(p-1{)}^{-\sigma },|s|(p-1{)}^{-\sigma -1})$

Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction $\zeta$ l'égalité $G(1)=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}$.

Majoration du produit G(s)

On se place ici dans le domaine défini par $|\tau |⩾2$ et $\sigma ⩾1-\frac{1}{\ln (2|\tau |)}$. On a d'après l'inégalité précédente

$\ln |G(s)|⩽4\sum _{p⩽2|\tau |}\frac{1}{p^{\sigma }}+(2+|\tau |)\sum _{p>2|\tau |}\frac{1}{p^{\sigma +1}}+𝒪(1)$

D'une part $\frac{1}{p^{\sigma }}\ll \frac{1}{p}$ dès lors que $p⩽2|\tau |$ donc $\sum _{p⩽2|\tau |}\frac{1}{p^{\sigma }}\ll \ln \ln (2|\tau |)$ d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev, $\sum _{p>2|\tau |}\frac{1}{p^{\sigma +1}}\ll \frac{\ln \ln (2|\tau |)}{|\tau |}$ de sorte que $\ln |G(s)|\ll \ln \ln (2|\tau |)$. Il existe ainsi une constante $A>0$ telle que $G(s)\ll (\ln |\tau |{)}^A$.

Développement asymptotique de Φ

D'après la formule de Perron (voir Remarques)

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Phi }(t)dt=\frac{1}{2i\pi }\underset{\kappa -i\mathrm{\infty }}{\overset{\kappa +i\mathrm{\infty }}{\int }}\zeta (s)G(s)x^{s+1}\frac{ds}{s(s+1)}$

pour tout $\kappa >1$ où l'intégrale est semi-convergente pour $x$ non entier et converge en valeur principale pour $x$ entier. On choisit $\kappa =1+\frac{1}{\ln x}$ et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe $\sigma =1-\frac{1}{\ln \max (4,2|\tau |)}$. On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points $\tau =\pm e^{-c\sqrt{\ln x}}$ pour une constante convenable $c$, celle-ci est $\ll x^2{e}^{-c_0\sqrt{\ln x}}$ pour une constante $c_0>0$ d'après la majoration $|\log \zeta (s)|⩽\ln \ln |\tau |+𝒪(1)$ (voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Phi }(t)dt=\frac{G(1)}{2}{x}^2+𝒪\left(x^2{e}^{-c_0\sqrt{\ln x}}\right)$

De la croissance de $\mathrm{\Phi }$ on en déduit que

$\frac{1}{h}\underset{x-h}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Phi }(t)dt⩽\mathrm{\Phi }(x)⩽\frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int }}\mathrm{\Phi }(t)dt$

pour tout $0<h⩽x$. En choisissant $h=x{e}^{-\frac{c_0}{2}\sqrt{\ln x}}$ et en remplaçant $G(1)$ par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}x+𝒪\left(x{e}^{-c\sqrt{\ln x}}\right)$

pour une constante $c>0$.

Corollaire

D'après la relation $a_n=\mathrm{\Phi }(n)-\mathrm{\Phi }(n-1)$ on a $a_n\ll n{e}^{-c\sqrt{\ln n}}$.

Remarques

Formule de Perron

On pose $a_x=a_n$ lorsque $x=n\in \mathbb{N}$ et $a_x=0$ lorsque $x\in ℝ\setminus \mathbb{N}$, on a alors d'après la formule de Perron

$\sum _{n<x}{a}_n+\frac{a_x}{2}=\frac{1}{2i\pi }\underset{\kappa -i\mathrm{\infty }}{\overset{\kappa +i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)x^s\frac{ds}{s}$

pour tout $\kappa >\max (0,{\sigma }_c)$ où ${\sigma }_c$ désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet $F$. On en déduit que

$\sum _{n<x}n{a}_n+\frac{x{a}_x}{2}=\frac{1}{2i\pi }\underset{\kappa -i\mathrm{\infty }}{\overset{\kappa +i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)x^{s+1}\frac{ds}{s+1}$   et  $\sum _{n<x}x{a}_n+\frac{x{a}_x}{2}=\frac{1}{2i\pi }\underset{\kappa -i\mathrm{\infty }}{\overset{\kappa +i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)x^{s+1}\frac{ds}{s}$

d'où

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\Phi }(t)dt=\sum _{n⩽x}(x-n)a_n=\frac{1}{2i\pi }\underset{\kappa -i\mathrm{\infty }}{\overset{\kappa +i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)x^{s+1}\frac{ds}{s(s+1)}$

pour tout $\kappa >\max (0,{\sigma }_c)$ et $x⩾1$.

Majoration de la norme du logarithme ζ

On a la relation $|\log \zeta (s)|⩽\ln \ln |\tau |+𝒪(1)$.

Lemme

Il existe une constante $c>0$ telle que $\zeta$ ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par $\sigma ⩾1-\frac{8c}{\ln (2+|\tau |)}$ (voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial $\beta +i\gamma$ de $\zeta$ vérifie l'inégalité $\beta <1-\frac{8c}{\ln (2+|\gamma |)}$. Cela implique la minoration

$\underset{\rho }{\min }\text{Re}(\frac{1}{\rho }-\frac{1}{s-\rho })⩾0$

où $\rho$ parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de $\zeta$, dans le domaine du plan complexe défini par $\tau ⩾4$ et $\sigma ⩾1-\frac{4c}{\ln \tau }$. En effet, si $\rho$ est un zéro non trivial, alors

• si $|s-\rho |>\frac{1}{2}|\rho |$, alors en posant $\vartheta :=\frac{2|s-\rho |}{\rho }⩾1$,

$\text{Re}(\frac{1}{\rho }-\frac{1}{s-\rho })=\frac{\beta }{|\rho {|}^2}+\frac{\sigma -\beta }{|s-\rho {|}^2}=\frac{{\vartheta }^2\beta -4(\sigma -\beta )}{4|s-\rho {|}^2}⩾\frac{4\sigma -3}{4|s-\rho {|}^2}⩾0$ quitte à diminuer $c$.

• si $|s-\rho |⩽\frac{1}{2}|\rho |$, alors $|\tau -\gamma |⩽\frac{1}{2}(|\gamma |+1)$ d'où $|\gamma |⩽2|\tau |+2$ et $\beta <1-\frac{8c}{\ln (2\tau +4)}⩽1-\frac{4c}{\ln \tau }⩽\sigma$.

Le produit de Hadamard de $\zeta$ fournit

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\ln 2\pi -\frac{1}{2}\gamma -1-\frac{1}{s-1}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1+\frac{s}{2})}{2\mathrm{\Gamma }(1+\frac{s}{2})}+\sum _{\rho }(\frac{1}{s-\rho }+\frac{1}{\rho })$

où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de $\zeta$. On en déduit l'existence d'une constante $K>0$ telle que $-\text{Re}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}⩽K\ln \tau$ sur le domaine $\tau ⩾4$ et $\sigma ⩾1-\frac{4c}{\ln \tau }$.

Démonstration de la majoration

On se place dorénavant dans le domaine défini par $\tau ⩾5$ et $\sigma ⩾1-\frac{c}{\ln \tau }$. Posons $\eta :=\frac{c}{\ln \tau }$ et $s_0:=1+\eta +i\tau$, alors pour tout $w\in ℂ$ dans le disque $|w|⩽4\eta$, le point $s_0+w={\sigma }^{\prime }+i{\tau }^{\prime }$ vérifie ${\tau }^{\prime }⩾4$ et ${\sigma }^{\prime }⩾1-\frac{4c}{\ln {\tau }^{\prime }}$ donc

$-\text{Re}\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0)}{\zeta (s_0)}⩽2K\ln \tau$

d'après le lemme. Posons $F(w):=\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0)}{\zeta (s_0)}-\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0+w)}{\zeta (s_0+w)}$, alors $\text{Re}F(w)⩽2K\ln \tau +\left|\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0)}{\zeta (s_0)}\right|$ pour tout $w$ dans le disque $|w|⩽4\eta$. Sachant que $|s-s_0|⩽2\eta$, le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration

$\left|\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\right|⩽4K\ln \tau +3\left|\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0)}{\zeta (s_0)}\right|$

On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de $\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }$ :

$\left|\frac{{\zeta }^{\prime }(s_0)}{\zeta (s_0)}\right|⩽\sum _{n⩾1}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^{1+\eta }}=\frac{1}{\eta }+𝒪(1)\ll \ln \tau$

où $\mathrm{\Lambda }$ désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que $\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\ll \ln |\tau |$. On peut finalement conclure :

$\log \frac{\zeta (s)}{\zeta (s_0)}=\underset{s_0}{\overset{s}{\int }}\frac{{\zeta }^{\prime }(w)}{\zeta (w)}dw\ll |s-s_0|\ln \tau \ll 1$

et

$|\log \zeta (s_0)|=\left|\sum _{n⩾2}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{(\ln n)n^{s_0}}\right|⩽\sum _{n⩾2}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{(\ln n)n^{1+\eta }}=\ln \zeta (1+\eta )=\ln \frac{1}{\eta }+𝒪(1)=\ln \ln \tau +𝒪(1)$

d'où finalement $|\log \zeta (s)|⩽\ln \ln |\tau |+𝒪(1)$ dans le domaine du plan complexe défini par $|\tau |⩾3$ et $\sigma ⩾1-\frac{c}{\ln |\tau |}$.

Voir aussi

• Fonction zêta de Riemann
• Série de Dirichlet