Moyenne quasi-arithmétique

En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométriqueModèle:Etc.). Elles sont paramétrées par une fonction Modèle:Mvar.

Définition

Soit $f$ une fonction d'un intervalle $I\subset ℝ$ dans les nombres réels, continue et injective.

La moyenne selon la fonction Modèle:Mvar (ou Modèle:Mvar - moyenne) des $n$ nombres $x_1,\dots ,x_n\in I$ est définie par $M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}\right)$, que l'on peut aussi écrire

$M_f(\overrightarrow{x})=f^{-1}(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k))$

Il est nécessaire que $f$ soit injective pour que son inverse $f^{-1}$ soit définie. Comme $f$ est continue et $I$ est un intervalle, $\frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$ appartient bien à l'ensemble de définition $f(I)$ de $f^{-1}$, car ce dernier est un intervalle.

Comme $f$ est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon Modèle:Mvar est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :

$\min (x_1,\dots ,x_n)⩽M_f(x_1,\dots ,x_n)⩽\max (x_1,\dots ,x_n)$

Exemples

Dans les exemples suivants, $I=ℝ$, ${ℝ}_{+}$ ou ${ℝ}_{+}^{*}$.

• Pour $f(x)=ax+b$, la moyenne selon Modèle:Mvar correspond à la moyenne arithmétique quels que soient $a\ne 0$ et $b$ (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
• Pour $f(x)={\log }_{a}x$, la moyenne selon Modèle:Mvar correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
• Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, la moyenne selon Modèle:Mvar correspond à la moyenne harmonique.
• Pour $f(x)=x^p$, la moyenne selon Modèle:Mvar correspond à la moyenne d'ordre $p$.
• Pour $f(x)=e^x$, la $f$-moyenne est une version décalée d'une constante de la fonction Modèle:Lien : $M_f(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{L}\mathrm{S}\mathrm{E}(x_1,\dots ,x_n)-\ln (n)$. Le $-\ln (n)$ correspond à la division par $n$.
• Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique .

Propriétés

Les propriétés suivantes sont exactes pour toute fonction $f$ satisfaisant à la définition ci-dessus :

Symétrie : La valeur de $M_f$ est invariante par permutation de ses arguments.

Point fixe : $\mathrm{\forall }x\in I,M_f(x,\dots ,x)=x$.

Croissance : $M_f$ est croissante en chacune de ses variables $x_i$ (puisque $f$ et $f^{-1}$ sont monotones de même sens).

Continuité : $M_f$ est continue en chacune de ses variables (puisque $f$ est continue).

Substitution : n'importe quel ensemble formé par $k$ de ses arguments peut être remplacé par sa $f$-moyenne répétée $k$ fois, sans changer le résultat de la $f$-moyenne globale. Si l'on note $m=M_f(x_1,\dots ,x_k)$ on a ainsi:

$M_f(x_1,\dots ,x_k,x_{k+1},\dots ,x_n)=M_f(\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{m,\dots ,m}},x_{k+1},\dots ,x_n)$

Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon Modèle:Mvar peut être séparé en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :

$M_f(x_1,\dots ,x_{nk})=M_f(M_f(x_1,\dots ,x_k),M_f(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_f(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk}))$

Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$.

Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$.

Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)))=M(x,y)$.

Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction $f$:

$\mathrm{\forall }a,\mathrm{\forall }b\ne 0,((\mathrm{\forall }t,g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \mathrm{\forall }x;M_f(x)=M_g(x)$.

Caractérisation

Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction $ℳ$ satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction $f$ telle que $ℳ=M_f$).

• La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de KolmogorovModèle:Rp.
• L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de KolmogorovModèle:Rp.
• Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov .
• Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution parmi les propriétés précédentes, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov. Modèle:Lien a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non , mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que $ℳ$ soit analytique pour que ce soit le cas.

Homogénéité

Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions $f$, la moyenne selon Modèle:Mvar ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p Modèle:Harv.

La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) $C$.

$M_{f,C}(x)=C(x)\cdot f^{-1}\left(\frac{f\left(\frac{x_1}{C(x)}\right)+\cdots +f\left(\frac{x_n}{C(x)}\right)}{n}\right)$

Cependant, cette modification peut violer les propriétés de croissance et de partitionnement.

Espérance selon une fonction

De façon analogue à la moyenne selon une fonction $f$, on définit l'espérance selon $f$ (ou espérance de Kolmogorov) d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ par:

${𝔼}_f[X]=f^{-1}(𝔼[f(X)])$.

La moyenne selon $f$ et l'espérance selon $f$ vérifient un théorème central limite : si ${𝔼}_f[X]$ existe et si $f$ est dérivable en ce point, alors pour toute suite ${(X_n)}_{n\ge 1}$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, la suite de variables aléatoires $\sqrt{n}(M_f(X_1,\dots ,X_n)-{𝔼}_f[X])$ converge en loi vers une loi normale.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Moyenne d'ordre p
• Inégalité de Jensen
• Moyenne de Stolarsky
• Moyenne de Lehmer