Preuve de l'irrationalité de π

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à démontrer que le [[pi|nombre Modèle:MathPi]] est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction Modèle:Math, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers non nuls. Au Modèle:S-, Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich. La plupart sont des preuves par l'absurde ou par contraposition.

[[Théorème d'Hermite-Lindemann|En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que Modèle:MathPi est]] non seulement irrationnel, mais transcendant.

Preuve de Lambert

Copie de la formule de la page 288 du mémoire de Lambert.

En 1761, Lambert prouve que Modèle:MathPi est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en fraction continue généralisée suivant de la fonction tangente :

$\tan x=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\ddots }}}}$

en utilisant les développements en série entière des fonctions cosinus et sinus.

Ensuite, Lambert montre que si Modèle:Mvar est non nul et rationnel alors Modèle:Math est irrationnel. Or, comme Modèle:Math, il en déduit que Modèle:Math est irrationnel et donc que Modèle:MathPi est irrationnel.

Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Preuve de Hermite

Rédigée en 1873, cette preuve utilise la caractérisation de Modèle:MathPi comme plus petite solution positive de l'équation Modèle:Math et montre en fait que Modèle:MathPi² lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.

Hermite définit par récurrence une suite de fonctions réelles Modèle:Mvar :

$A_0=\sin x,A_{n+1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}y{A}_n(y)\mathrm{d}y$.

Des Modèle:Citation

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(y)\cos y\mathrm{d}y={[\sin yF(y)+\cos y{F}^{\prime }(y)]}_0^x$

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(y)\sin y\mathrm{d}y={[\sin y{F}^{\prime }(y)-\cos yF(y)]}_0^x$

où Modèle:Mvar est un polynôme et $F=f-f^{″}+f^{(4)}-\dots$, il déduit que

$A_n(x)=U\sin x+V\cos x,$

où Modèle:Math, Modèle:Mvar étant un polynôme à coefficients entiers de degré égal à la partie entière de Modèle:Math.

Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de Modèle:Mvar : Modèle:Démonstration Il en déduit au passage que les fonctions ${𝔄}_n(x):=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}$ vérifient ${𝔄}_{n+1}(x)=-\frac{{{𝔄}_n}^{\prime }(x)}{x}$.

Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel de première espèce Modèle:Math]] :

${𝔄}_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{J}_{n+\frac{1}{2}}(x)$

mais Modèle:Infra c'est sans doute cette relation qui lui fournit la formule explicite suivanteModèle:, :

$A_n(x)=\frac{x^{2n+1}}{2^{n}n!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-z^2{)}^n\cos (xz)\mathrm{d}z$.

Si Modèle:Math, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux entiers alors pour tout entier pair Modèle:Mvar, le nombre Modèle:Math est égal à l'entier Modèle:Math. Soit :

$\mathbb{Z}\ni N_n=q^{n/2}{A}_n\left(\frac{\pi }{2}\right)=q^{n/2}\frac{{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n+\frac{1}{2}}}{2^{n}n!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-z^2{)}^n\cos \frac{\pi z}{2}\mathrm{d}z=\sqrt{\frac{p}{q}}\frac{{\left(\frac{p}{2\sqrt{q}}\right)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-z^2{)}^n\cos \frac{\pi z}{2}\mathrm{d}z.$

Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que Modèle:Math ne peut pas être rationnel, donc Modèle:MathPi non plus.

Lien avec la preuve de Lambert

Comme le signale HermiteModèle:,, sa fonction Modèle:Math est le numérateur de la Modèle:Mvar-ième réduite du développement par Lambert de Modèle:Math, le dénominateur étant Modèle:Math, car ces deux fonctions vérifient la relation de récurrence découverte par Lambert :

$A_{n+1}(x)=(2n+1)A_n(x)-x^2{A}_{n-1}(x)$.

Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle Modèle:Citation ${A_n}^{″}(x)-\frac{2n}{x}{A_n}^{\prime }(x)+A_n(x)=0$, qui équivaut à l'équation différentielle de Bessel usuelle, via le lien avec Modèle:Math signalé ci-dessus.

Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de Modèle:MathPi, comme il le fit la même année dans [[Théorème d'Hermite-Lindemann#Transcendance de e et π|sa preuve de la transcendance de Modèle:Math]]. Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.

Preuve de Cartwright

Cartwright a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'université de Cambridge en 1945.

Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales ${𝔄}_n$ de Hermite :

$I_n(x):=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-z^2{)}^n\cos (xz)\mathrm{d}z=2^{n+1}n!{𝔄}_n(x)$.

Par une double intégration par parties, elle obtient la relation de récurrence

$\mathrm{\forall }n\ge 2,x^2{I}_n(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)$.

En posant

$J_n(x):=x^{2n+1}{I}_n(x)$,

cette relation de récurrence devient celle de Lambert Modèle:Supra, aux notations près ($J_n(x)=2^{n+1}n!A_n(x)$) :

$J_n(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^2{J}_{n-2}(x).$

De plus, Modèle:Math et Modèle:Math. Donc, pour tout entier Modèle:Mvar positif,

$J_n(x)=n!(P_n(x)\sin x+Q_n(x)\cos x),$

où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des polynômes Modèle:Citation (sic) à coefficients entiers.

Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de Modèle:MathPi (et non celle de Modèle:MathPiModèle:2).

On prend maintenant Modèle:Math, et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tels que Modèle:Math. Alors :

$\frac{a^{2n+1}}{n!}{I}_n\left(\frac{\pi }{2}\right)=P_n\left(\frac{a}{b}\right)b^{2n+1}.$

Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.

Preuve de Niven

Niven suppose que Modèle:MathPi est rationnel, donc de la forme Modèle:Math avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers strictement positifs. Pour un entier positif Modèle:Mvar Modèle:Citation, il définit deux polynômes :

$f(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}$

et

$F(x)=f(x)-f^{″}(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1{)}^n{f}^{(2n)}(x).$

• Il remarque d'abord que Modèle:Math est un entier.

  En effet, le polynôme Modèle:Math est à coefficients entiers, et nuls en degrés Modèle:Math. Ainsi, Modèle:Mvar et ses dérivées prennent des valeurs entières en Modèle:Math, donc aussi en Modèle:MathPi puisque Modèle:Math.

• Il établit ensuite que $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin x\mathrm{d}x=F(0)+F(\pi )$.

  En effet, comme l'avait remarqué Hermite Modèle:Supra, $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin x\mathrm{d}x={[F^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x]}_0^{\pi }$.

• Enfin, pour Modèle:Math, $0<f(x)\sin x<\frac{(\pi a{)}^n}{n!}$

  donc Modèle:Math pour Modèle:Mvar suffisamment grand, ce qui est impossible.

Lien avec la preuve de Hermite

La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord :

• d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ;
• d'autre part parce qu'un changement de variable Modèle:Math dans la formule explicite Modèle:Supra et l'évaluation en Modèle:Math donnent :

  $A_n\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2^{n}n!}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{y}^n(\pi -y{)}^n\sin y\mathrm{d}y=\frac{1}{b^n{2}^{n+1}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin x\mathrm{d}x.$

Preuve de Laczkovich

La preuve de Laczkovich est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert : généralisation parce qu'elle porte (comme celle d'Oskar Perron 90 ans plus tôt) sur une famille de fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie, et simplification parce qu'elle évite les considérations de convergence.

Laczkovich considère la famille de [[Fraction continue de Gauss#La série 0F1|fonctions hypergéométriques Modèle:Math]]. Ces fonctions entières sont définies pour tout nombre complexe $k\notin -\mathbb{N}$ et l'on a en particulier

$f_{\frac{1}{2}}(x)=\cos (2x),f_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{\sin (2x)}{2x},f_k(0)=1$.

Ces fonctions sont [[Fonction de Bessel#Relation avec les séries hypergéométriques|liées aux fonctions de Bessel de première espèce Modèle:Mvar par]] :

$\mathrm{\Gamma }(k)J_{k-1}(2x)=x^{k-1}{f}_k(x)$ (où Modèle:Math désigne la fonction gamma) donc :

• elles vérifient la relation de récurrence :

  $\mathrm{\forall }x\in ℝ\frac{x^2}{k(k+1)}{f}_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x)$ ;

• Modèle:Math et Modèle:Math ne peuvent pas être simultanément nuls ;
• pour Modèle:Mvar fixé, [[Fonction de Bessel#Développements asymptotiques|Modèle:Math quand Modèle:Math]].

Laczkovich redémontre alors que

pour tout Modèle:Mvar non nul tel que Modèle:Math est rationnel, on a

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Q}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}{f}_k(x)\ne 0\text{ et }\frac{f_{k+1}(x)}{f_k(x)}\notin \mathbb{Q}.$

En termes des fonctions de Bessel Modèle:Mvar, ce résultat se réécrit :

pour tout Modèle:Mvar non nul tel que Modèle:Math est rationnel, on a

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Q}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}{J}_{k-1}(x)\ne 0\text{ et }\frac{x{J}_k(x)}{J_{k-1}(x)}\notin \mathbb{Q}.$

En particulier (pour Modèle:Math) :

pour tout Modèle:Mvar non nul tel que Modèle:Math est rationnel, Modèle:Math est non nul et Modèle:Math est irrationnel.

Puisque Modèle:Math, ce dernier résultat montre que Modèle:Math est irrationnel et donc que Modèle:MathPi est irrationnel.

Une autre conséquence est le résultat de Lambert : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.

Article connexe

[[e (nombre)#Irrationalité|Preuve de l'irrationalité de Modèle:Math]]