Fraction continue de Gauss

En analyse complexe, une fraction continue de Gauss est un cas particulier de fraction continue dérivé des fonctions hypergéométriques. Ce fut l'un des premiers exemples de fractions continues analytiques. Elles permettent de représenter des fonctions élémentaires importantes, ainsi que des fonctions spéciales transcendantes plus compliquées.

Histoire

Lambert a publié quelques exemples de fractions continues généralisées de cette forme en 1768, démontrant entre autres l'irrationalité de [[Pi|Modèle:Math]] (Modèle:Cf. § « Applications à Modèle:IndFModèle:Ind » ci-dessous). Euler et Lagrange ont exploré des constructions similaires, mais c'est Gauss qui utilisa l'astuce algébrique décrite dans la section suivante pour donner la forme générale de cette fraction continue, en 1813.

Il ne démontra cependant pas ses propriétés de convergence. Bernhard Riemann et Ludwig Wilhelm Thomé obtinrent des résultats partiels, mais ce n'est qu'en 1901 qu'Edward Burr Van Vleck précisa le domaine de convergence.

Formule générale

Soit Modèle:Math une suite de fonctions analytiques telle que pour tout Modèle:Math,

$f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+1},$

où les Modèle:Math sont des constantes. Alors, en posant Modèle:Retrait donc (en notation de Pringsheim) Modèle:Retrait et en répétant indéfiniment cette transformation :

$\frac{f_1}{f_0}=\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{k_{1}z\mid }{\mid 1}+\frac{k_{2}z\mid }{\mid 1}+\frac{k_{3}z\mid }{\mid 1}+\cdots .$

Dans la fraction continue de Gauss, les fonctions Modèle:Math sont des fonctions hypergéométriques de la forme Modèle:IndFModèle:Ind, Modèle:IndFModèle:Ind et Modèle:IndFModèle:Ind, et les équations Modèle:Math proviennent d'identités entre ces fonctions, dans lesquelles les paramètres diffèrent par des quantités entières. Ces identités peuvent se démontrer de diverses manières, par exemple en développant les séries et en comparant les coefficients, ou en calculant la dérivée de plusieurs façons et en l'éliminant des équations produites.

Les trois séries Modèle:IndFModèle:Ind, Modèle:IndFModèle:Ind et Modèle:IndFModèle:Ind

La série Modèle:IndFModèle:Ind

Le cas le plus simple concerne la fonction

${}_0{F}_1(;a;z)=1+\frac{1}{a1!}z+\frac{1}{a(a+1)2!}{z}^2+\frac{1}{a(a+1)(a+2)3!}{z}^3+\cdots .$

D'après l'identité Modèle:Retrait on peut prendre Modèle:Retrait ce qui donne Modèle:Retrait ou encore, par conversion : Modèle:Bloc emphase Ce développement converge vers la fonction méromorphe définie par le quotient des deux séries convergentes (sous réserve, bien sûr, que Modèle:Math ne soit pas un entier négatif ou nul).

La série Modèle:IndFModèle:Ind

Le cas suivant concerne la fonction hypergéométrique confluente de Kummer

${}_1{F}_1(a;b;z)=1+\frac{a}{b1!}z+\frac{a(a+1)}{b(b+1)2!}{z}^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)3!}{z}^3+\cdots ,$

pour laquelle on utilise alternativement les deux identités Modèle:Retrait Modèle:Retrait En posant Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait etc. et Modèle:Retrait on obtient Modèle:Retrait dont on déduit Modèle:Bloc emphase mais aussi, en utilisant que Modèle:Math et en remplaçant Modèle:Math par Modèle:Mvar, le cas particulier

${}_1{F}_1(1;b;z)=\frac{1\mid }{\mid 1}-\frac{z\mid }{\mid b}+\frac{z\mid }{\mid b+1}-\frac{bz\mid }{\mid b+2}+\frac{2z\mid }{\mid b+3}-\frac{(b+1)z\mid }{\mid b+4}+\cdots .$

De même, Modèle:Retrait ou encore : Modèle:Bloc emphase

La série Modèle:IndFModèle:Ind

Le dernier cas concerne la fonction

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=1+\frac{ab}{c1!}z+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)2!}{z}^2+\frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)3!}{z}^3+\cdots .$

On utilise à nouveau, alternativement, deux identités : Modèle:Retrait Modèle:Retrait qui sont en fait la même à interversion près de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

En posant Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait etc. et Modèle:Retrait on obtient Modèle:Retrait dont on déduit Modèle:Bloc emphase mais aussi, en utilisant que Modèle:Math et en remplaçant Modèle:Math par Modèle:Mvar, le cas particulier

${}_2{F}_1(1,b;c;z)=\frac{1\mid }{\mid 1}-\frac{bz\mid }{\mid c}+\frac{(b-c)z\mid }{\mid c+1}-\frac{c(b+1)z\mid }{\mid c+2}+\frac{2(b-c-1)z\mid }{\mid c+3}-\frac{(c+1)(b+2)z\mid }{\mid c+4}+\cdots .$

Convergence

Dans cette section, on exclut le cas où certains paramètres sont des entiers négatifs ou nuls car dans ce cas, ou bien les séries hypergéométriques ne sont pas définies, ou bien ce sont des polynômes et alors la fraction continue est finie. On exclut aussi d'autres exceptions triviales.

Les fonctions Modèle:IndFModèle:Ind et Modèle:IndFModèle:Ind sont entières donc leurs quotients sont méromorphes. Les fractions continues obtenues convergent uniformément sur tout fermé borné du plan complexe ne contenant aucun des pôles de cette fonction.

Le rayon de convergence des séries Modèle:IndFModèle:Ind est égal à 1 donc leurs quotients sont méromorphes dans le disque unité ouvert. Les fractions continues obtenues convergent uniformément sur tout fermé borné inclus dans ce disque et ne contenant aucun des pôles. En dehors du disque, la fraction continue représente un prolongement analytique de la fonction sur le plan complexe privé de la demi-droite réelle Modèle:Math. Le plus souvent, le point Modèle:Math est un point de branchement et la demi-droite Modèle:Math est une coupure de branchement pour cette fonction.

Exemples d'applications

Applications à Modèle:IndFModèle:Ind

• La fonction de Bessel Modèle:Math peut s'écrireModèle:RetraitIl en résulte que pour tout complexe Modèle:Math,

• On retrouve ainsi les fractions continues de Lambert pour les fonctions tangente et tangente hyperbolique (voir le § « Irrationalité » de l'article sur l'approximation diophantienne) :Modèle:RetraitModèle:Retrait(ce qui, après quelques transformations, peut être utilisé pour déterminer la [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple : le nombre e|fraction continue de Modèle:Math]]).

Applications à Modèle:IndFModèle:Ind

• La fonction exponentielle se développe enModèle:Retrait
• La fonction d'erreur Modèle:Math se développe, pour tout complexe Modèle:Math, enModèle:Retrait
• On peut développer de même les fonctions de Fresnel, celle de Dawson et les fonctions gamma incomplètes Modèle:Math et Modèle:Math.

Applications à Modèle:IndFModèle:Ind

• DeModèle:Retrait(variante de la série binomiale Modèle:Math) on déduitModèle:Retraitainsi que l'expression suivante de fonction arc tangente :Modèle:Retraitqui converge dans le plan complexe privé des deux demi-droites Modèle:Math et Modèle:Math de l'axe imaginaire pur (Modèle:Math et Modèle:Math sont des points de branchement). Cette convergence est assez rapide en Modèle:Math, donnant une approximation de Modèle:Math à 7 décimales dès la neuvième réduite (alors qu'avec la formule de Brouncker, il faut plus d'un million de termes pour la même précision).
• On peut développer de même, par exemple, le logarithme naturel et la fonction arc sinus.

Voir aussi

• Fraction continue de Rogers-Ramanujan