Moyenne de Gini

Tracé des moyennes de Gini, de Lehmer et d'ordre p de 1 et 2.

En mathématiques, la moyenne de Gini est une généralisation de plusieurs familles de moyennes. Elle a été introduite par le mathématicien italien Corrado Gini en 1938 .

Définition

Étant donnés deux paramètres réels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, la moyenne de Gini d'ordre Modèle:Mvar d'une famille de nombres réels strictement positifs Modèle:Math est définie par :

$G_{r,s}(x_1,...x_n)={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^r}{\sum _{i=1}^n{x}_i^s}\right)}^{\frac{1}{r-s}}\mathrm{s}\mathrm{i}r\ne s,G_{r,r}(x_1,...x_n)=\prod _{i=1}^n\exp \left(\frac{x_i^r\ln x_i}{\sum _{i=1}^n{x}_i^r}\right)=\prod _{i=1}^n{x}_i^{\frac{x_i^r}{\sum _{i=1}^n{x}_i^r}}$.

En particulier, pour deux réels strictement positifs Modèle:Mvar :

$G_{r,s}(a,b)={\left(\frac{a^r+b^r}{a^s+b^s}\right)}^{\frac{1}{r-s}}\mathrm{s}\mathrm{i}r\ne s$

$G_{r,r}(a,b)={\left(a^{a^r}{b}^{b^r}\right)}^{\frac{1}{a^r+b^r}}.$

Par convention, on désigne la moyenne de Gini d'ordre (1,1) comme la moyenne de Gini :

$G(a,b):=G_{1,1}(a,b)={\left(a^a{b}^b\right)}^{\frac{1}{a+b}}.$

La littérature donne parfois la définition

$G_{r,s}(x_1,...x_n)={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^{r+s}}{\sum _{i=1}^n{x}_i^s}\right)}^{\frac{1}{r}}$.

Propriétés

Les moyennes de Gini respectent les conditions de majoration et minoration des moyennes :

$\mathrm{\forall }r,s,\min (x_1,...,x_n)⩽G_{r,s}(x_1,...x_n)⩽\max (x_1,...x_n)$

Cependant, elles ne sont pas monotones (augmenter une valeur Modèle:Mvar ne va pas nécessairement faire varier la moyenne de Gini de l'ensemble).

On peut comparer les moyennes de Gini entre elles sous certaines conditions

$G_{r,s}(a,b)⩽G_{t,u}(a,b)⟺r+s⩽t+u\mathrm{e}\mathrm{t}\{\begin{array}{cc}\min (r,s)⩽\min (t,u)& \mathrm{s}\mathrm{i}0⩽\min (r,s,t,u),\\ \frac{|r|-|s|}{r-s}⩽\frac{|t|-|u|}{t-u}& \mathrm{s}\mathrm{i}\min (r,s,t,u)<0<\max (r,s,t,u),\\ \max (r,s)⩽\max (t,u)& \mathrm{s}\mathrm{i}0⩾\max (r,s,t,u),\end{array}$

Cas particuliers

• Pour Modèle:Math, les moyennes Modèle:Math sont les moyennes d'ordre r Modèle:Mvar:
  • le cas Modèle:Math est la moyenne arithmétique
  • le cas Modèle:Math est la moyenne géométrique
  • le cas Modèle:Math est la moyenne quadratique
  • le cas Modèle:Math est la moyenne harmonique
• Pour Modèle:Math, les moyennes Modèle:Math sont les moyennes de Lehmer Modèle:Math.

Voir aussi

• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Lehmer
• Moyenne de Stolarsky
• Indice de Gini