Théorie de l'intersection

En mathématiques, la théorie de l'intersection est la branche de la géométrie algébrique étudiant l'intersection de deux sous-variétés d'une variétéModèle:Sfn, dont les premières idées sont déjà dans le théorème de Bézout sur les courbes et la théorie de l'élimination. La recherche se poursuit sur les cycles fondamentaux virtuels, les anneaux d'intersection quantiques, la théorie de Gromov-Witten et l'extension de la théorie de l'intersection des schémas aux champs algébriquesModèle:Sfn.

Forme d'intersection, version topologique

Pour une variété orientée connexe Modèle:Mvar dimension Modèle:Formule, la forme d'intersection est une forme bilinéaire définie sur le Modèle:Mvar-ième groupe de cohomologie (en ce qu'on appelle middle dimension en anglais) par l'évaluation du cup-produit sur la Modèle:Lien $[M]$ dans $H_{2n}(M,\partial M)$. Plus précisément, il existe une forme bilinéaire

${\lambda }_M:H^n(M,\partial M)\times H^n(M,\partial M)\to 𝐙$

donnée par

${\lambda }_M(a,b)=⟨a⌣b,[M]⟩\in 𝐙$

et l'on a

${\lambda }_M(a,b)=(-1{)}^n{\lambda }_M(b,a)\in 𝐙.$

C'est donc une forme symétrique pour $n$ pair (donc $2n=4k$ est un multiple de quatre), auquel cas la signature topologique de $M$ est par définition la signature de cette forme, et une forme alternée pour $n$ impair (donc $2n=4k+2$). Ces cas peuvent être traités uniformément avec la notion de Modèle:Lien, où $\epsilon =(-1{)}^n=\pm 1$. Il est parfois possible de raffiner cette forme en une forme ε-quadratique mais cela nécessite des données supplémentaires telles qu'une trivialisation du fibré tangent. On peut supprimer la condition d'orientabilité en travaillant avec des coefficients dans $𝐙/2𝐙$ au lieu des entiers.

Ces formes sont des invariants topologiques importants. Par exemple, un théorème de Michael Freedman exprime que les variétés de dimension 4 compactes simplement connexes sont (presque) déterminées par leur Modèle:Lien à homéomorphisme près.

Par dualité de Poincaré, on peut penser cet invariant géométriquement. Lorsque c'est possible, on choisit des sous-variétés $A$ et $B$ de dimension Modèle:Mvar dont les classes d'homologie sont les duaux de Poincaré de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar . Alors ${\lambda }_M(a,b)$ est le Modèle:Lien de $A$ et $B$, qui est bien défini : en effet, puisque la somme des dimensions de $A$ et $B$ est la dimension de la variété ambiante $M$, ces sous-variétés se coupent génériquement en des points isolés. Cela explique le terme forme d'intersection.

Théorie des intersections en géométrie algébrique

William Fulton, dans Intersection Theory (1984), écrit : Modèle:Citation bloc Donner une définition, dans le cas général, de la multiplicité d'intersection était le but principal d'André Weil dans son livre de 1946, Fondements de la géométrie algébrique. Les travaux de Bartel Leendert van der Waerden dans les années 1920 avaient déjà abordé la question ; dans l'école italienne de géométrie algébrique, ces idées étaient bien connues mais les questions fondamentales n’étaient pas abordées dans le même esprit.

Cycles mouvants

Pour que la machinerie pour étudier l'intersection des cycles algébriques $V$ et $W$ fonctionne bien, il faut faire plus que prendre l'intersection ensembliste $V\cap W$ des cycles en question. Si les deux cycles sont « en bonne position », alors le produit d'intersection, noté $V\cdot W$, devrait être constitué de l'intersection ensembliste des deux sous-variétés. Cependant les cycles peuvent être en mauvaise position, comme par exemple deux droites parallèles dans le plan ou un plan contenant une droite dans un espace de dimension 3. Dans les deux cas, l’intersection devrait être un point, car, encore une fois, si un cycle était déplacé, ce serait l’intersection. L'intersection de deux cycles $V$ et $W$ est dite propre si la codimension de l'intersection (ensembliste) $V\cap W$ est la somme des codimensions de $V$ et $W$, respectivement, c'est-à-dire la valeur « attendue ».

Par conséquent, c'est le concept de cycles mouvants, qui repose sur des relations d'équivalence appropriées sur les cycles algébriques, qui est utilisé. L'équivalence doit être suffisamment grossière pour que, étant donné deux cycles $V$ et $W$ quelconques, il existe des cycles équivalents $V^{\prime }$ et $W^{\prime }$ tels que l'intersection $V^{\prime }\cap W^{\prime }$ soit propre. Bien entendu, si $V^{″}$ et $W^{″}$ sont aussi équivalents à $V$ et $W$, on veut que $V^{\prime }\cap W^{\prime }$ soit équivalent à $V^{″}\cap W^{″}$.

Pour la théorie des intersections, l’équivalence rationnelle est la plus importante. En bref, deux cycles de dimension $r$ sur une variété Modèle:Mvar sont rationnellement équivalents s'il existe une fonction rationnelleModèle:Formulesur une sous-variété Modèle:Mvar de dimension $r+1$ c'est-à-dire un élément du Modèle:Lien Modèle:Formule ou, de manière équivalente, une fonction $f:Y\to {𝐏}^1$, telle que $V-W=f^{-1}(0)-f^{-1}(\mathrm{\infty })$, où l'image réciproque Modèle:Formule est comptée avec multiplicité. L'équivalence rationnelle répond aux besoins esquissés ci-dessus.

Multiplicités d'intersection

Intersection de droites et d'une parabole

Le principe directeur dans la définition des Modèle:Lien de cycles est, dans un certain sens, la continuité. Considérons l'exemple élémentaire suivant : l'intersection de la parabole Modèle:Formule et de l'axe Modèle:Formule devrait être Modèle:Formule. En effet, si l'un des cycles se déplace (dans un sens encore mal défini), il y a précisément deux points d'intersection qui convergent tous deux vers Modèle:Formule lorsque les cycles s'approchent de la position représentée. (La figure est trompeuse dans la mesure où l'intersection apparemment vide de la parabole et de la droite Modèle:Formule est vide, c'est simplement que seules les solutions réelles des équations sont représentées.)

La première définition satisfaisante des multiplicités d'intersection a été donnée par Jean-Pierre Serre. Supposons que la variété ambiante Modèle:Mvar soit lisse (ou que tous les anneaux locaux soient réguliers). Soient en outre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux sous-variétés (irréductibles, réduites et fermées), dont l'intersection est propre. La construction est locale, de sorte que les variétés peuvent être représentées par deux idéaux Modèle:Mvar et Modèle:Mvar dans l'anneau des fonctions sur Modèle:Mvar. Soit Modèle:Mvar une composante irréductible de l'intersection ensembliste Modèle:Formule et soit Modèle:Mvar son point générique. La multiplicité de Modèle:Mvar dans le produit d'intersection Modèle:Formule est définie par

$\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{\text{length}}_{{𝒪}_{X,z}}{\text{Tor}}_i^{{𝒪}_{X,z}}({𝒪}_{X,z}/I,{𝒪}_{X,z}/J),$

la somme alternée des longueurs (sur l'anneau local de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar) des groupes de torsion des anneaux quotients correspondant aux sous-variétés. Cette expression est parfois appelée la formule Tor de Serre.

Remarques

• Le premier terme de la somme, la longueur de

  $({𝒪}_{X,z}/I){\otimes }_{{𝒪}_{X,z}}({𝒪}_{X,z}/J)={𝒪}_{Z,z}$

  est la version « naïve » de la multiplicité ; cependant, comme le montre Serre, cela ne suffit pas.

• La somme est finie, car l'anneau local régulier ${𝒪}_{X,z}$ a une dimension globale finie.
• Si l’intersection de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar n’est pas propre, la multiplicité ci-dessus est nulle. Si elle l'est, la multiplicité est strictement positive. (Ces deux assertions ne résultent pas immédiatement de la définition.)
• En utilisant un argument de suite spectrale, on peut montrer que Modèle:Formule.

L'anneau de Chow

L'Modèle:Lien est le groupe des cycles algébriques à équivalence rationnelle près muni du produit d'intersection commutatif suivant :

$V\cdot W:=\sum _i\mu (Z_i;V,W)Z_i$

lorsque V et W s'intersectent transversalement, où $V\cap W=\bigcup _i{Z}_i$ est la décomposition de l'intersection ensembliste en composantes irréductibles.

Auto-intersection

Étant donné deux sous-variétés Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on peut considérer leur intersection Modèle:Formule, mais il est également possible, même si c'est plus subtil, de définir l'auto-intersection d'une seule sous-variété.

Étant donné, par exemple, une courbe Modèle:Mvar sur une surface Modèle:Mvar, son intersection avec elle-même (en tant qu'ensemble) est simplement elle-même : Modèle:Formule. C'est évidemment correct et pourtant, ce n'est pas satisfaisant : étant donné deux courbes distinctes sur une surface (sans composante commune), elles se coupent en un ensemble de points, que l'on peut par exemple compter pour définir un nombre d'intersection. On peut souhaiter faire de même pour une seule courbe : l'analogie est que l'intersection de courbes distinctes équivaut à multiplier deux nombres : Modèle:Formule, tandis que l'auto-intersection équivaut au carré d'un seul nombre : Modèle:Formule. Formellement, il s'agit de passer d'une forme bilinéaire symétrique (multiplication) à une forme quadratique (carré).

Une solution géométrique à ce problème consiste à considérer l'intersection la courbe Modèle:Mvar non pas avec elle-même, mais avec une version légèrement décalée d'elle-même. Dans le plan, cela signifie simplement déplacer la courbe Modèle:Mvar dans une certaine direction, mais en général on parle de prendre une courbe Modèle:Formule qui est Modèle:Lien à Modèle:Mvar, et de définir l'auto-intersection $C\cdot C$ comme le nombre d'intersection Modèle:Formule. Contrairement au cas de courbes distinctes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, les « points d'intersection » ne sont pas définis car ils dépendent du choix de Modèle:Formule, mais les « points d'auto-intersection de $C$ » peuvent être interprétés comme Modèle:Mvar points génériques sur Modèle:Mvar, où Modèle:Formule ou, plus précisément, comme le point générique de Modèle:Mvar pris avec multiplicité Modèle:Formule.

Au lieu de la construction précédente, on peut « résoudre » (ou motiver) ce problème algébriquement en passant au dual : on considère la classe de Modèle:Formule – cela donne à la fois un nombre et soulève la question d’une interprétation géométrique. Il faut noter que passer aux classes de cohomologie revient à peu près à remplacer une courbe par un système linéaire.

Il faut savoir que le nombre d’auto-intersection peut être négatif, comme on le voit dans l’exemple ci-dessous.

Exemples

Soit Modèle:Mvar une droite dans le plan projectif Modèle:Formule. Elle a un nombre d'auto-intersection égal à 1 puisque toutes les autres droites la coupent une fois : on peut pousser Modèle:Mvar vers Modèle:Formule et Modèle:Formule (pour tout choix de Modèle:Formule), donc Modèle:Formule. En termes de formes d'intersection, on dit que le plan en a une de type Modèle:Formule (il n'y a qu'une seule classe de droites et elles se coupent toutes).

Par contraste, dans le plan affine, on peut pousser Modèle:Mvar vers une droite parallèle, donc (en pensant géométriquement) le nombre de points d'intersection dépend du choix du décalage. On dit que « le plan affine n'a pas une bonne théorie de l'intersections ». En général, la théorie de l'intersection sur les variétés non projectives est beaucoup plus difficile.

Une droite dans Modèle:Formule (qui peut aussi être interprétée comme la quadrique non singulière Modèle:Mvar dans Modèle:Formule) a une auto-intersection Modèle:Formule, puisqu'une ligne peut être décalée en une autre qui ne la coupe pas. (C'est une surface réglée.) En termes de formes d'intersection, on dit que Modèle:Formule en a une de type Modèle:Mvar – il y a une base formée de deux classes de droites, lesquelles se coupent en un point (Modèle:Mvar), mais qui n'ont aucune auto-intersection (pas de termes Modèle:Formule ni Modèle:Formule).

Éclatements

Un exemple clé de nombres d'auto-intersection est le diviseur exceptionnel d'une éclatement, qui est une opération centrale en géométrie birationnelle. Étant donné une surface algébrique Modèle:Mvar, éclater un point crée une courbe Modèle:Mvar. Cette courbe Modèle:Mvar est reconnaissable à son genre, qui est Modèle:Formule, et à son nombre d'auto-intersection, qui est Modèle:Formule. (Ce n'est pas évident.) En particulier, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont des Modèle:Lien (ce ne sont pas des éclatements) puisqu'elles n'ont pas de courbe dont l'auto-intersection est négative. En fait, le Modèle:Lien de Castelnuovo énonce la réciproque : chaque courbe de nombre d'auto-intersection –1 est la courbe exceptionnelle d'une éclatement – elle peut être « contractée » (blown down).

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch
• Géométrie énumérative

Bibliographie

Cours en ligne

• Modèle:Lien archive
• Modèle:Lien brisé

Ouvrages

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