Cosinus hyperbolique

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

Représentation du cosinus hyperbolique dans le plan complexe.

La fonction cosinus hyperbolique, notée $\cosh$ (ou $\mathrm{ch}$), est la fonction complexe suivante :

$\begin{array}{cccc}\cosh :& ℂ& \to & ℂ\\ & z& \mapsto & \frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2}\end{array}$

où $z\mapsto {\mathrm{e}}^z$ est l'exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.

La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue dans la géométrie hyperbolique de la fonction cosinus Modèle:Infra.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au Modèle:S-.

Propriétés

Propriétés générales

• Modèle:Math est continue et même holomorphe donc de [[Classe de régularité|classe CModèle:Exp]] (Modèle:C.-à-d. infiniment dérivable). Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée Modèle:Math.
• Modèle:Math est paire.
• Les primitives de Modèle:Math sont Modèle:Math, où Modèle:Math est une constante d'intégration.
• Modèle:Math est strictement croissante sur ℝModèle:Exp.

Propriétés trigonométriques

Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe $z$ et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :

${\mathrm{e}}^z=\cosh z+\sinh z\text{et}{\mathrm{e}}^{-z}=\cosh z-\sinh z,\text{donc}{\cosh }^{2}z-{\sinh }^{2}z=1.$

Quand Modèle:Math décrit ℝ, de même que le point de coordonnées $(\cos t,\sin t)$ parcourt un cercle d'équation $x^2+y^2=1$, celui de coordonnées $(\cosh t,\sinh t)$ parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation $x^2-y^2=1$.

D'autre part, pour tous nombres complexes $x$ et $y$ :

$\cosh (\mathrm{i}x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}=\cos x$ ;

$\cosh x=\cos (\mathrm{i}x)$ ;

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$ , d'où $\cosh 2x={\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x=1+2{\sinh }^{2}x=2{\cosh }^{2}x-1$

${\cosh }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cosh x}{2}$.

L'utilisation de formules trigonométriques telles que $\tan (2t)=\frac{2\tan t}{1-{\tan }^{2}t}$ permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel $x$) :

$\cosh x=\frac{1}{\sin (2\arctan ({\mathrm{e}}^x))}$ ;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction Modèle:Math converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

$\cosh z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$.

Polynômes de Tchebychev

Soit $T_n$ le Modèle:Math-ième polynôme de Tchebychev. En prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout réel Modèle:Math) $T_n(\cos t)=\cos (nt)$, on obtient pour tout complexe Modèle:Math la relation

$T_n(\cosh z)=\cosh (nz)$.

Valeurs

Quelques valeurs de $\cosh$ :

• $\cosh 0=1$ ;
• $\cosh 1=\frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2\mathrm{e}}$ ;
• $\cosh \mathrm{i}=\cos 1$.

Zéros

Tous les zéros de Modèle:Math sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe $z$,

$\cosh z=0\iff z\in \mathrm{i}\pi (\mathbb{Z}+\frac{1}{2}).$

En effet, soit $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x,y$ réels. On a alors $\cosh z=\cosh x\cos y+\mathrm{i}\sinh x\sin y$, donc

$\cosh z=0\iff (\cos y=0\text{ et }\sinh x=0)\iff (y\in \{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\text{ et }x=0)$.

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur Modèle:Math.

Sur Modèle:Math, Modèle:Math est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en Modèle:Math est Modèle:Math. C'est donc une bijection de Modèle:Math dans Modèle:Math. Sa bijection réciproque, notéeModèle:Math (ou Modèle:Math), est nommée « argument cosinus hyperbolique » ou « arc cosinus hyperbolique ».

Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite Modèle:Math.

Pour Modèle:Math, il existe deux réels dont le Modèle:Math vaut Modèle:Math : Modèle:Retrait En effet, en posant $t=\mathrm{arcosh}x$ et en utilisant que ${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$ et $t>0$, on obtient Modèle:Retrait

La fonction $\mathrm{arcosh}$ est dérivable sur Modèle:Math et Modèle:Retrait

Utilisation

Géométrie hyperbolique

En géométrie hyperbolique, de nombreuses formules sont les analogues des formules correspondantes en trigonométrie sphérique, en remplaçant les fonctions circulaires par les fonctions hyperboliques correspondantes ; ainsi, la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique (ou loi des cosinus), $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma ,$ devient, pour un triangle hyperbolique, Modèle:Math (pour la signification des lettres, se reporter aux articles détaillés).

Physique

La courbe représentative de la fonction $\cosh$ sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble homogène fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

La Modèle:Langue à Saint-Louis (Missouri).

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

La Modèle:Langue à Saint-Louis dans le Missouri possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à Modèle:Unité en son centre et enjambe Modèle:Unité à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

$y=-39\cosh \left(\frac{x}{39}\right)+231$

pour Modèle:Math.

Voir aussi

• Sinus hyperbolique
• Tangente hyperbolique