Nombre métallique

En mathématiques, les nombres métalliques (ou constantes métalliques) forment une suite de nombres réels généralisant le nombre d'or. Il a été proposé deux généralisations possibles.

Introduction pour la première généralisation

Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites $(u_n)$ vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$, il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier Modèle:Mvar, le terme général des suites $(u_{n,p})$ vérifiant la récurrence linéaire :

$u_{n+2,p}=p{u}_{n+1,p}+u_{n,p}.$

Par définition, le p-ième nombre métallique, noté ${\phi }_p$, est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : $x^2=px+1$.

Si une telle suite tend vers l'infini, ${\phi }_p$ est la limite du rapport $u_{n+1}/u_n$ .

Pour Modèle:Mvar = 2, le métal proposé a été l'argent, puis le bronze pour le nombre suivantModèle:,Modèle:,.

Les suites $(u_{n,p})$ ont été baptisées suites de p - métallonaci (p - metallonacci sequences en anglais).

Diverses expressions

• En tant que solution positive de l'équation du second degré $x^2=px+1$, on obtient l'expression analytique du nombre métallique d'indice Modèle:Mvar :

${\phi }_p=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme

$x=p+\frac{1}{x}$

on en déduit son développement en fraction continue :

${\phi }_p=p+\frac{1}{p+\frac{1}{p+\frac{1}{p+\frac{1}{p+\ddots }}}}=[p;p,\dots ]$.

• En réécrivant l'équation sous la forme $x=\sqrt{1+px}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini :

${\phi }_p=\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+\cdots }}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  ${\phi }_p=\underset{0}{\overset{p}{\int }}(\frac{x}{2\sqrt{x^2+4}}+\frac{p+2}{2p})\mathrm{d}x.$

Rectangles métalliques

Les rectangles d'or, d'argent, et de bronze.

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation $\frac{l}{L-pl}=\frac{L}{l}$ qui donne $x^2=px+1$ si on pose $x=L/l$.

Premières valeurs

p	Expression	Écriture décimale	Métal associé	Suite récurrente associée
1	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
2	Modèle:Math	2,414213562 Modèle:Efn	Argent	suite de Pell
3	Modèle:Sfrac	3,302775638 Modèle:Efn	Bronze	Modèle:OEIS
4	Modèle:Math	4,236067978 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
5	Modèle:Sfrac	5,192582404 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
6	Modèle:Math	6,162277660 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
7	Modèle:Sfrac	7,140054945 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
8	Modèle:Math	8,123105626 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
9	Modèle:Sfrac	9,109772229 Modèle:Efn		Modèle:OEIS
⋮
p	Modèle:Sfrac			Modèle:OEIS

Expressions trigonométriques

Numéro du nombre métallique	1	2	3	4
Formule trigonométrique	$2\cos \frac{\pi }{5}$	$\tan \frac{3\pi }{8}$	$2\cos \frac{\pi }{13}(\frac{\sin \frac{2\pi }{13}}{\cos \frac{3\pi }{13}}+1)$	$8{\cos }^3\frac{\pi }{5}$
Polygone régulier associé	Pentagone	Octogone	Tridécagone	29-gone

Propriétés des puissances entières

Puissances entières

De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient ${\phi }^n=F_n\phi +F_{n-1}$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :

${\phi }_p^n=G_n{\phi }_p+G_{n-1}(1)$

où la suite $(G_n)$, définie par $G_0=0,G_1=1,G_{n+2}=p{G}_{n+1}+G_n$ est la p-suite de Fibonacci.

En prolongeant la suite $(G_n)$ aux entiers négatifs et en acceptant les $p$ négatifs dans la définition de ${\phi }_p=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}$ , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.

Alors, si $\phi {\text{'}}_p={\phi }_{-p}=p-{\phi }_p=-\frac{1}{{\phi }_p}$ est l'autre solution de $x^2=px+1$, les puissances de $\phi {\text{'}}_p$ vérifient également ${\phi }_p{\text{'}}^n=G_n{{\phi }_p}^{\prime }+G_{n-1}$ de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité :

$G_n=\frac{{\phi }_p^n-{\phi }_p{\text{'}}^n}{{\phi }_p-{{\phi }_p}^{\prime }}$.

Remarquons aussi que puisque $\frac{1}{{\phi }_p}={\phi }_p-p$, l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.

De plus, la propriété ${\phi }_4={\phi }^3$ se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :

${\phi }_p^{2n+1}={\phi }_{\sum _{k=0}^n\frac{2n+1}{2k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k})p^{2k+1}}$

Par exemple, ${\phi }_p^3={\phi }_{(p^3+3p)}$ .

Deuxième généralisation : constantes de p-nacci.

Une autre généralisation de la récurrence linéaire double : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ étant la récurrence Modèle:Mvar-uple : $u_{n+p}=u_{n+1}+u_{n+2}+\dots +u_{n+p-1}$, il a été aussi proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer le terme général des suites $(u_n)$ vérifiant cette récurrence. Partant de l'or, l'argent et le cuivre (situés au-dessus de l'or dans le tableau périodique), ont été proposés pour les nombres suivants : le nickel, le cobalt et le fer Modèle:,Modèle:,. Mais par conformité avec les appellations données dans l'encyclopédie des suites entières (OEIS), nous désignerons ces nombres par constantes de Modèle:Mvar-nacci.

Par définition, chaque constante, notée ${\alpha }_p$ dans , est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : $x^p=1+x+\dots +x^{p-1}$ (attention, avec cette numérotation, le nombre d'or est ${\alpha }_2$, ${\alpha }_1$ étant égal à 1).

En utilisant la formule des suites géométriques, on obtient que ${\alpha }_p$ est l'unique solution positive autre que 1 de l'équation de degré Modèle:Nobr : $x^{p+1}-2x^p+1=0$, équation qui peut s'écrire aussi : $x=2-\frac{1}{x^p}$ . Elle ne s'exprime pas à l'aide de radicaux à partir de Modèle:Nobr, mais peut s'écrire comme somme d'une série :

${\alpha }_p=2-2\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{(p+1)i-2}{i-1})}{i\cdot 2^{(p+1)i}}.$

Premières valeurs

p	Constante de	Expression	Écriture décimale	Métal (appellation de )	Suite récurrente associée
2	Fibonacci	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
3	Tribonacci	$\frac{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1}{3}$	1,8392867552	Argent	suite de Tribonacci
4	Tétranacci	Existence d'une expression par radicaux réels faisant intervenir $\sqrt[3]{65+3\sqrt{1689}}$	1,927561975	Cuivre	suite de Tétranacci, Modèle:OEIS
5	Pentanacci	Pas d'expression par radicaux	1,9659482366	Nickel	suite de Pentanacci, Modèle:OEIS
6	Hexanacci	Modèle:NC	1,983582843	Cobalt	suite d'Hexanacci, Modèle:OEIS
7	Heptanacci	Modèle:NC	1,991964197	Fer	suite d'Heptanacci, Modèle:OEIS

Étude de la suite des constantes de p-nacci

Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2. Ceci est aussi "confirmé" par la suite d' "infinacci" où chaque terme est la somme de tous les précédents, débutant par 0,1 : 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... où le quotient de termes consécutifs vaut exactement 2.

Un encadrement simple est :

$2-\frac{1}{2^{p-1}}⩽{\alpha }_p⩽2-\frac{1}{2^p}$.

Un développement asymptotique est :

${\alpha }_p=2-\frac{1}{2^p}-\frac{p}{2^{2p+1}}+o\left(\frac{1}{2^p}\right)$.

L'équation caractéristique possède une unique solution négative, supérieure à –1 pour Modèle:Mvar pair, et aucune pour Modèle:Mvar impair. Cette solution, ainsi que les solutions complexes $\alpha$ ont un module vérifiant $3^{-p}<|\alpha |<1$ , qui tend donc vers 1 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini.

Voir également

• Nombre d'argent
• Nombre plastique
• Vera W. de Spinadel

Notes et références

Bibliographie

• Modèle:Lien web.
• Modèle:Article.
• Modèle:Lien web.