Lemme de Yoneda

En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie $𝒞$ localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de $𝒞$ sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de $𝒞$ à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet). Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des Modèle:Lien, qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Le lemme de Yoneda exprime le fait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes si (et seulement si) ils ont les mêmes relations (i.e. les mêmes ensembles de morphismes) avec tous les autres objets de la catégorie.

Lemme de Yoneda

Soit $𝒞$ une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.

• Un objet A de $𝒞$ définit un foncteur Hom covariant hModèle:Exp de $𝒞$ dans la catégorie Ens des ensembles par :$X\mapsto h^A(X)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(A,X),$$f\mapsto h^A(f)=(g\mapsto f\circ g).$De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant hModèle:Exp de $𝒞$ dans la catégorie Fun($𝒞$, Ens) des foncteurs covariants de $𝒞$ dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie $𝒞$ induit une transformation naturelle de hModèle:Exp dans hModèle:Exp. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de hModèle:Exp dans hModèle:Exp est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de hModèle:Exp dans n'importe quel foncteur de $𝒞$ dans Ens.
  Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant hModèle:Exp est pleinement fidèle ; la catégorie duale $𝒞$Modèle:Exp se trouve ainsi plongée dans Fun($𝒞$, Ens).
• En remplaçant $𝒞$ par $𝒞$Modèle:Exp, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant hModèle:Ind : A ↦ hModèle:Ind = HomModèle:Ind(–, A), de $𝒞$ dans la catégorie de préfaisceaux Fun($𝒞$Modèle:Exp, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de $𝒞$ dans Ens. Ce foncteur hModèle:Ind, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement $𝒞$ dans la catégorie Fun($𝒞$Modèle:Exp, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de $𝒞$.

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

Preuve

Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons $\psi$ une transformation naturelle de hModèle:Exp sur T. Pour tout élément $f$ dans $h^A(B)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$, on a :

$f=h^A(f)({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$

En appliquant à cette identité l'application ensembliste $\psi (B):h^A(B)\to T(B)$, on obtient :

$\psi (B)(f)=\psi (B)[h^A(f)({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)]=T(f)[\psi (A)({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)]$

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément $\psi (B)(f)$ est donc l'image de $\psi (A)({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$ par $T(f)$. De fait, en faisant varier f, on montre que $\psi$ est uniquement déterminé par $\psi (A)({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$. L'application énoncée est injective.

Surjectivité

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

${\psi }_v(B):h^A(B)\to T(B)$ $f\mapsto T(f)(v)$

Vérifions que ${\psi }_v$ est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : B → C et pour tout élément f de hModèle:Exp(B), on est en mesure d'écrire :

$T(g)[{\psi }_v(B)(f)]=T(g)[T(f)(v)]=T[g.f](v)={\psi }_v(C)(g.f)$

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par hModèle:Exp(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

$T(g)[{\psi }_v(B)(f)]={\psi }_v(C)[h^A(g)(f)]$

En faisant varier f :

$T(g)\circ {\psi }_v(B)={\psi }_v(C)\circ h^A(g)$

Cela étant vérifié pour toute flèche g, ${\psi }_v$ est bien une transformation naturelle de hModèle:Exp sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).