Lemme d'estimation

En mathématiques, le lemme d'estimation (aussi appelé lemme d'estimation standard) donne un majorant (du module) d'une intégrale curviligne complexe. Ce lemme est très utilisé en analyse complexe pour montrer que l'intégrale le long d'une partie d'un contour tend vers zéro en passant à une certaine limite. On peut ainsi calculer exactement certaines intégrales en utilisant le théorème des résidus.

Énoncé

Figure 1: Illustration de l'approximation de l'intégrale curviligne le long d'un chemin Modèle:Math (en rouge) par une somme des valeurs atteintes en Modèle:Mvar points Modèle:Mvar appartenant à Modèle:Math petits arcs formant le chemin.
La somme des longueurs des cordes (en bleu) donne une approximation de la longueur du chemin.

Si Modèle:Mvar est une fonction d'une variable complexe et à valeurs complexes, continue sur le chemin rectifiable Modèle:Math, on a :

$|\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z|\le \mathrm{L}(\gamma )\underset{z\in \mathrm{I}\mathrm{m}\gamma }{\max }|f(z)|$

où Modèle:Math est la longueur du chemin rectifiable. À noter que la borne supérieure existe et est atteinte (c'est donc un maximum) car l'image d'un chemin rectifiable est compacte et Modèle:Mvar est continue. Attention ici à ne pas confondre Modèle:Math qui désigne ici l'image du chemin Modèle:Math, c'est-à-dire un sous-ensemble de $ℂ$, avec la partie imaginaire de Modèle:Math.

On peut justifier intuitivement le lemme comme suit : en subdivisant le chemin Modèle:Math en Modèle:Math petits arcs d'extrémités successives Modèle:Math, on approche l'intégrale curviligne par une somme de Riemann :

$I=\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z\approx \sum _{k=1}^{n-1}f(c_k)(z_{k+1}-z_k)$

où Modèle:Mvar est un point arbitraire de l'arc joignant Modèle:Mvar à Modèle:Math. Le module de chaque terme de la somme est majoré par Modèle:Math, où Modèle:Mvar est le maximum de Modèle:Math sur Modèle:Math et Modèle:Math est la longueur de la corde joignant Modèle:Mvar à Modèle:Math. Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur du chemin Modèle:Math, on peut s'attendre à la majoration Modèle:Math.

Démonstration

Soit $\gamma :[a,b]\to ℂ,t\mapsto \gamma (t)$, un chemin de classe ${𝒞}^1$ par morceaux, on a :

$|I|=|\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z|=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t|$

ce que l'on peut majorer comme suit :

$|I|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(\gamma (t))||{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$

En majorant le module de Modèle:Mvar sur le chemin et par définition de la longueur d'un arc, on a :

$|I|\le \underset{t\in [a,b]}{\max }|f(\gamma (t))|\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t\text{ et }\mathrm{L}(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$

d'où finalement :

$|I|\le \mathrm{L}(\gamma )\underset{z\in \mathrm{I}\mathrm{m}\gamma }{\max }|f(z)|$

Exemple d'utilisation

Figure 2 : Illustration du chemin Modèle:Math utilisé dans l'exemple.

On cherche à montrer que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(x^2+1{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.$

Pour cela, on considère un lacet constitué de deux parties : une première est le demi-cercle de centre 0 et de rayon Modèle:Math, contenu dans le plan supérieur, parcouru dans le sens direct que l'on note Modèle:Math (illustré à la figure 2 ci-contre) et la seconde est le segment Modèle:Math. Notons Modèle:Mvar l'intégrande de l'intégrale que nous cherchons à calculer, c'est-à-dire

$f(z)=\frac{1}{(z^2+1{)}^2}.$

C'est une fonction méromorphe sur $ℂ$ dont les pôles (doubles) sont situés en Modèle:Math. Seul le pôle en Modèle:Math est à l'intérieur du lacet et le résidu en ce point est :

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,+i)=\underset{z\to i}{\lim }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{(z-\mathrm{i}{)}^2}{(z^2+1{)}^2}\right)=\frac{1}{4\mathrm{i}}$

où la dérivée d'ordre 1 vient du fait que le pôle est double.

D'après le théorème des résidus, quel que soit a > 1 :

$(*)\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+1{)}^2}+\underset{{\gamma }_a}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1{)}^2}=2\pi \mathrm{i}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,+\mathrm{i})=\frac{\pi }{2}.$

On cherche ensuite à passer à la limite quand $a\to +\mathrm{\infty }$, on a besoin de trouver en fonction de Modèle:Mvar un majorant pour :

$\left|\underset{{\gamma }_a}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1{)}^2}\right|$

que l'on va obtenir grâce au lemme d'estimation. La longueur du chemin est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon Modèle:Mvar ; on a donc :

$\mathrm{L}({\gamma }_a)=\pi a$

On cherche ensuite un majorant Modèle:Mvar pour le module de l'intégrande sur le chemin. Par inégalité triangulaire, on a :

$|z{|}^2=|z^2+1-1|\le |z^2+1|+1$

Par conséquent, sur le chemin Modèle:Math,

$|z^2+1|\ge |z{|}^2-1=a^2-1>0$

Ainsi, $\mathrm{\forall }z\in {\gamma }_a$ :

$\left|\frac{1}{(z^2+1{)}^2}\right|\le \frac{1}{(a^2-1{)}^2}=M_a$

En appliquant le lemme, on a donc  :

$\left|\underset{{\gamma }_a}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1{)}^2}\right|\le \frac{\pi a}{(a^2-1{)}^2}$

Il en résulte que

$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\gamma }_a}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1{)}^2}=0.$

Par passage à la limite $a\to +\mathrm{\infty }$ dans $(*)$, on en déduit la relation annoncée.

Voir aussi

• Lemme de Jordan

Références

Modèle:En Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999, Modèle:4e éd. Modèle:ISBN