Catégorie des ensembles pré-ordonnés

En mathématiques, la catégorie $𝐎𝐫𝐝$ a les ensembles pré-ordonnés comme objets et les fonctions préservant l'ordre (c'est-à-dire les fonctions croissantes) comme morphismes. Il s'agit d'une catégorie pour la composition usuelle, car la composée de deux fonctions croissantes est elle-même croissante, et l'identité est croissante elle-même.

Les monomorphismes dans $𝐎𝐫𝐝$ sont les fonctions injectives croissantes.

L'ensemble vide (qui est bien un ensemble pré-ordonné) est l'objet initial de $𝐎𝐫𝐝$, et ses objets finaux sont précisément les singletons pré-ordonnés. Il n'y a donc pas d'objets nuls dans $𝐎𝐫𝐝$.

Le produit dans $𝐎𝐫𝐝$ est donné par l'ordre produit défini sur le produit cartésien.

Il existe un foncteur d'oubli $𝐎𝐫𝐝\to 𝐒𝐞𝐭$ ($𝐒𝐞𝐭$ étant la catégorie des ensembles) qui attribue à chaque ensemble pré-ordonné l'ensemble sous-jacent, et à chaque fonction croissante la fonction sous-jacente. Ce foncteur est fidèle, ce qui fait d'$𝐎𝐫𝐝$ une catégorie concrète. Ce foncteur a un adjoint gauche (envoyant chaque ensemble à lui-même muni de la relation d'égalité) et un adjoint droit (envoyant chaque ensemble lui-même équipé de la relation totale).

Structure de 2-catégorie

L'ensemble des morphismes (fonctions croissantes) entre deux ensembles pré-ordonnés peut en réalité être lui-même muni d'un pré-ordre. Ainsi, si on considère $A,B\in Ob(𝐎𝐫𝐝)$ et $\preccurlyeq$ le pré-ordre sur $B$, on définit un pré-ordre sur $Hom(A,B)$ (qu'on continuera à noter $\preccurlyeq$ du fait de l'absence d'ambigüité) par :

$\mathrm{\forall }f,g\in Hom(A,B),(f\preccurlyeq g⟺(\mathrm{\forall }x\in A,f(x)\preccurlyeq g(x)))$

Cet ensemble pré-ordonné peut à son tour être considéré comme une catégorie, ce qui fait d'$𝐎𝐫𝐝$ une 2-catégorie (les axiomes supplémentaires d'une 2-catégorie sont trivialement valables car toute équation de morphismes parallèles est vraie dans une catégorie posetale).

Avec cette structure, un pseudo-foncteur $F$ d'une catégorie $C$ vers $𝐎𝐫𝐝$ est donné par les mêmes données qu'un 2-foncteur, mais est affaibli dans le sens suivant :

Considérant $A,B\in Ob(𝐎𝐫𝐝),f,g\in Hom(A,B)$ :

$\mathrm{\forall }x\in F(A),F(I{d}_A)(x)\approx x$

et

$\mathrm{\forall }x\in F(A),F(g\circ f)(x)\approx F(g)(F(f)(x))$

où $x\approx y$ signifie $x\preccurlyeq y$ et $y\preccurlyeq x$, $\preccurlyeq$ étant le pré-ordre de $A$ ou de $B$ selon le cas.

Références

• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• FinOrd
• Catégorie simpliciale