Cercle mixtilinéaire d'un triangle

Cercle $A$-mixtilinéaire inscrit dans un triangle $ABC$

En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.

Existence et unicité

On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle $ABC$ est unique.

Soit $\mathrm{\Phi }$ la composée de l'inversion de pôle A et de rapport $\sqrt{AB\cdot AC}$, et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. $\mathrm{\Phi }$ échange les sommets B et C et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, $\mathrm{\Phi }$ fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous $\mathrm{\Phi }$ est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.

La même application $\mathrm{\Phi }$ appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique.

Construction

1. On construit d'abord le centre inscrit $I$ par intersection des bissectrices.
2. La droite passant par $I$ perpendiculaire à $AI$ intersecte $AB$ et $AC$ aux points $D$ et $E$ respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
3. Les perpendiculaires à $AB$ et $AC$ passant par les points $D$ et $E$ respectivement se croisent en un point noté $O_A$, qui est le centre du cercle mixtilinéaire.

Cette construction est possible, avec le lemme suivant :

Construction du cercle mixtilinéaire.

Quelques propriétés

Rayon

La formule suivante relie le rayon $r$ du cercle inscrit et du rayon ${\rho }_A$ du cercle $A$-mixtilinéaire d'un triangle $ABC$ :$$r={\rho }_A\cdot {\cos }^2\frac{\alpha }{2}$$où $\alpha$ est la mesure de l'angle en $A$.

Relation aux points sur le cercle circonscrit

• La droite $T_{A}I$ coupe l'arc $BC$ en son milieuModèle:,.
• Le quadrilatère $T_{A}XAY$ est harmonique, ce qui signifie que $T_{A}A$ est une symédiane du triangle $X{T}_{A}Y$.

Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit

$T_{A}BDI$ et $T_{A}CEI$ sont deux quadrilatères cycliques.

Relation entre les trois cercles mixtilinéaires

Fichier:MixtrilinearIncircles.svg

Cercles mixtrilinéaires inscrits d'un triangle

Les trois droites $T_{A}A$, $T_{B}B$ et $T_{C}C$ concourent en un point, son nombre de Kimberling est X(56). Il est défini par des coordonnées trilinéaires $\frac{a}{c+a-b}:\frac{b}{c+a-b}:\frac{c}{a+b-c}$ et coordonnées barycentriques $\frac{a^2}{c+a-b}:\frac{b^2}{c+a-b}:\frac{c^2}{a+b-c}$ .

Fichier:MixtrilinearExcircles.svg

Cercles mixtrilinéaires exinscrits d'un triangle

Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point $J$ qui divise $OI$ avec rapport$$OJ:JI=2R:-r$$où $I,r,O,R$ sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit.

Voir aussi

• Cercle inscrit d'un triangle
• Problème des contacts