Contiguïté (probabilités)

La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960 généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.

Définition

Soit $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'espaces mesurables. Soient $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites de mesures de probabilités sur $({\mathrm{\Omega }}_n,F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

La suite ${\mu }_n$ est dite contiguë par rapport à la suite ${\nu }_n$ si pour toute séquence d'événements $F_n\in {ℱ}_n$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\nu }_n(F_n)=0⟹\lim {\mu }_n(F_n)=0$. On note alors ${\mu }_n◃{\nu }_n$.

Si on a à la fois ${\mu }_n◃{\nu }_n$ et ${\mu }_n▹{\nu }_n$, les suites ${\mu }_n$ et ${\nu }_n$ sont dites mutuellement contiguës et l'on note ${\mu }_n◃▹{\nu }_n$.

Lien avec l'absolue continuité

La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, ${\mu }_n=\mu$, ${\nu }_n=\nu$ et $F_n=F$, on obtient que, si $\nu (F)=0$ alors $\mu (F)=0$, c'est-à-dire que $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

La contiguïté assure l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergent en distribution vers deux mesures $\mu$ et $\nu$, et que la suite $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est contigüe par rapport à $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, alors $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

Attention toutefois à ne pas confondre contigüité entre deux suites avec l'absolue continuité entre les termes de ces suites. Il existe en effet des suites $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ vérifiant pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mu }_n<<{\nu }_n$ (le symbole « $<<$ » désignant l'absolue continuité) sans qu'on ait ${\mu }_n◃{\nu }_n$. On peut par exemple prendre ${\mu }_n$constamment égale à la mesure de probabilité définie par une loi normale centrée réduite et ${\nu }_n$ égale à la mesure de probabilité d'une loi normale d'espérance $n$ et de variance 1.

Autres définitions

Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment.

Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et deux suites de mesures de probabilités $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sur $({\mathrm{\Omega }}_n,F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ .

• La suite $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est contiguë par rapport à $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ si, pour toute suite de variables aléatoires $X_n$ , $(\mathrm{\forall }\eta ,{\nu }_n(|X_n|>\eta )\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0)⟹(\mathrm{\forall }\eta ,{\mu }_n(|X_n|>\eta )\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0)$. En d'autres termes, si $X_n$ tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures ${\nu }_n$, alors $X_n$tend aussi vers 0 sous la suite de mesures ${\mu }_n$ .
• La suite $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est contiguë par rapport à $({\nu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ si $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N},\delta >0:\underset{n\ge n_0}{\sup }\{\underset{F\in {ℱ}_n:{\nu }_n(F)<\delta }{\sup }\{{\mu }_n(F)\}\}\le \epsilon$ .

Premier lemme de Le Cam

Un résultat connu sous le nom de « premier lemme de Le Cam » permet d'établir d'autres caractérisations de la contigüité.

Modèle:Théorème

Dans ce résultat, la notation $\frac{\mathrm{d}{\mu }_n}{\mathrm{d}{\nu }_n}$ (respectivement $\frac{\mathrm{d}{\nu }_n}{\mathrm{d}{\mu }_n}$) désigne la dérivée de Radon-Nikodym de ${\mu }_n$par rapport à ${\nu }_n$(respectivement de ${\nu }_n$ par rapport à ${\mu }_n$). En pratique cela se ramène souvent au rapport de la densité de probabilité associée à ${\mu }_n$ sur celle associée à ${\nu }_n$ (respectivement celle associée à ${\nu }_n$ sur celle associée à ${\mu }_n$), lorsque ces densités existent.

Les convergences en distribution de $\frac{\mathrm{d}{\mu }_n}{\mathrm{d}{\nu }_n}(X_n)$ et de $\frac{\mathrm{d}{\nu }_n}{\mathrm{d}{\mu }_n}(Y_n)$ dans le résultat ci-dessus peuvent être remplacées par les convergences en distribution de sous-suites de $\frac{\mathrm{d}{\mu }_n}{\mathrm{d}{\nu }_n}(X_n)$ et de $\frac{\mathrm{d}{\nu }_n}{\mathrm{d}{\mu }_n}(Y_n)$ sans perte de généralité.

Voir aussi

• Absolue continuité
• Normalité asymptotique locale
• Lucien Le Cam