Cube de Hilbert

Modèle:Ébauche En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit $K={[0,1]}^{\mathbb{N}}$ muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Pour tout $p\in [1,\mathrm{\infty }[$, le cube de Hilbert est homéomorphe au sous-espace suivant de l'espace de suites ${\ell }^p$, défini par deux éléments quelconques b et c de ${\ell }^p$ tels que $\mathrm{\forall }n,b_n<c_n$ :

$\{x\in {\ell }^p\mid \mathrm{\forall }n{b}_n\le x_n\le c_n\}$.

Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable et possède la propriété suivante :

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.

Voir aussi

Espace de Cantor