Formule de la co-aire

La formule de la co-aire est un théorème de théorie géométrique de la mesure qui exprime l'intégrale du jacobien d'une fonction sur [[Espace euclidien|ℝModèle:Exp]] comme l'intégrale de la mesure de Hausdorff de ses ensembles de niveau. Elle généralise le théorème de Fubini. Elle joue un rôle décisif dans l'approche moderne des problèmes isopérimétriques.

Pour les fonctions lisses, la formule est un résultat d'analyse à plusieurs variables qui résulte d'un simple changement de variable. Elle a été généralisée aux fonctions lipschitziennes par Herbert Federer puis aux fonctions à variation bornée par Fleming et Rishel.

Énoncé

Soit u une fonction de ℝModèle:Exp dans ℝ, lipschitzienne donc dérivable presque partout. Alors, Modèle:Énoncé où ║∇u║ est la norme euclidienne du gradient de u et H Modèle:Exp est la mesure de Hausdorff de dimension n – 1

ou, ce qui est équivalent : Modèle:Énoncé

Généralisation

Soit u une fonction lipschitzienne de ℝModèle:Exp dans ℝModèle:Exp avec k ≤ n. Alors, Modèle:Énoncé où JModèle:Indu est le jacobien k-dimensionnel de u : Modèle:Retrait ou, ce qui est équivalent : Modèle:Énoncé

Remarques

• Dans la première de ces deux formules, le fait préalable (implicite ici) que pour presque tout t dans ℝModèle:Exp, la dimension de Hausdorff de l'ensemble A ∩ uModèle:-1(t) vaut n – k, peut s'interpréter comme une généralisation du théorème de Sard.
• Dans la seconde on retrouve, pour u égal à la projection sur les k premières coordonnées, le théorème classique de Fubini-Tonelli sur ℝModèle:Exp × ℝModèle:Exp.
• Ce théorème se généralise encore, en une Modèle:Lien, en prenant u lipschitzienne, d'une variété riemannienne de classe CModèle:1, de dimension n, dans une autre, de dimension k ≤ n.
• La « formule de l'aire », plus classique, concerne le cas k ≥ n et le jacobien n-dimensionnel,Modèle:Retrait

Applications

• En prenant u(x) = ║x║, on retrouve, pour une fonction intégrable Modèle:Math, la formule d'intégration en coordonnées sphériques :Modèle:Retrait
• En combinant la formule de la co-aire avec l'inégalité isopérimétrique nωModèle:IndModèle:Exp[[Mesure de Lebesgue|λModèle:Ind]]([[Adhérence (mathématiques)|Modèle:Surligner]])Modèle:Exp ≤ [[Théorème isopérimétrique#Contenu de Minkowski|MModèle:Ind]](∂A), où ωModèle:Ind est le [[Calcul du volume de l'hypersphère|volume de la boule unité de ℝModèle:Exp]], on démontre l'inégalité de Sobolev pour Modèle:Nobr avec constante optimale :Modèle:Retrait

Notes et références

• Modèle:Article

Article connexe

• Modèle:Lien