Identités de Green

En analyse les identités de Green sont trois identités du calcul vectoriel reliant une intégrale définie dans un volume et celle définie sur le bord de ce volume. Ces relations sont dues à George Green.

Première identité de Green

Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar des fonctions scalaires définies sur le domaine Modèle:Math, limité par le domaine $\partial V$ de normale n, orientée vers l'extérieur du domaine, telles que Modèle:Mvar soit au moins deux fois différentiables et Modèle:Mvar une fois. La première identité s'obtient par le théorème de flux-divergence appliqué au champ de vecteurs Modèle:Math en utilisant l'identité Modèle:MathModèle:, :

$\underset{V}{\int }(\psi \mathrm{\Delta }\phi +\mathrm{\nabla }\psi \cdot \mathrm{\nabla }\phi )\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\int }\psi \mathrm{\nabla }\phi \cdot 𝐧\mathrm{d}\mathrm{S}$

Seconde identité de Green

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux fois continument différentiables dans Modèle:Math et Modèle:Mvar une fois alors en prenant Modèle:Math on obtientModèle:, :

$\underset{V}{\int }[\psi \mathrm{\nabla }\cdot \left(\epsilon \mathrm{\nabla }\phi \right)-\phi \mathrm{\nabla }\cdot \left(\epsilon \mathrm{\nabla }\psi \right)]\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\int }\epsilon (\psi \frac{\partial \phi }{\partial 𝐧}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial 𝐧})\mathrm{d}S$

Si l'on prend Modèle:Math alors :

$\underset{V}{\int }(\psi \mathrm{\Delta }\phi -\phi \mathrm{\Delta }\psi )\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}_{𝐧}\phi -\phi {\mathrm{\nabla }}_{𝐧}\psi )\mathrm{d}S$

En particulier ceci montre que le laplacien est un opérateur auto-adjoint pour le produit intérieur Modèle:Math dans le cas de fonctions s'annulant sur la limite du domaine.

Troisième identité de Green

Si on choisit Modèle:Math où la fonction de Green Modèle:Mvar est une solution du laplacien, c'est-à-dire :

$\mathrm{\Delta }G(𝐱,\mathit{\eta })=\delta (𝐱-\mathit{\eta })$

Par exemple si dans Modèle:Math une solution est de forme :

$G(𝐱,\mathit{\eta })=\frac{-1}{4\pi \Vert 𝐱-\mathit{\eta }\Vert }$

La troisième identité de Green dit que si Modèle:Mvar est deux fois continument différentiable alors :

$\underset{V}{\int }G(𝐲,\mathit{\eta })\mathrm{\Delta }\psi (𝐲)\mathrm{d}{V}_{𝐲}-\psi (\mathit{\eta })=\underset{\partial V}{\int }[G(𝐲,\mathit{\eta })\frac{\partial \psi }{\partial 𝐧}(𝐲)-\psi (𝐲)\frac{\partial G(𝐲,\mathit{\eta })}{\partial 𝐧}]\mathrm{d}S$

Si de plus Modèle:Mvar est une fonction harmonique, donc solution de l'équation de Laplace Modèle:Math on a :

$\psi (\mathit{\eta })=\underset{\partial V}{\int }[\psi (𝐲)\frac{\partial G(𝐲,\mathit{\eta })}{\partial 𝐧}-G(𝐲,\mathit{\eta })\frac{\partial \psi }{\partial 𝐧}(𝐲)]\mathrm{d}S$

Dans le cas d'une condition aux limites de Dirichlet Modèle:Mvar s'annule au bord du domaine et :

$\psi (\mathit{\eta })=\underset{\partial V}{\int }\psi (𝐲)\frac{\partial G(𝐲,\mathit{\eta })}{\partial 𝐧}\mathrm{d}S$

Si Modèle:Mvar est solution de l'équation de Helmholtz et Modèle:Mvar la fonction de Green correspondante alors cette expression conduit au principe de Huygens-Fresnel.

Variétés différentielles

Les deux premières identités de Green s'étendent à des variétés riemanniennes :

$\begin{array}{cc}\underset{M}{\int }u\mathrm{\Delta }v\mathrm{d}V+\underset{M}{\int }⟨\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }v⟩\mathrm{d}V& =\underset{\partial M}{\int }uNv\mathrm{d}\tilde{V}\\ \underset{M}{\int }(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)\mathrm{d}V& =\underset{\partial M}{\int }(uNv-vNu)\mathrm{d}\tilde{V}\end{array}$

où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des fonctions lisses à valeurs réelles sur Modèle:Mvar, Modèle:Mvar est le volume associé à la métrique, $d\tilde{V}$ est le volume correspondant sur le bord de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est le champ de vecteurs normaux.

Voir aussi

• Opérateur de Laplace-Beltrami
• Théorème de Malgrange-Ehrenpreis
• Théorème de réciprocité (électrostatique)
• Théorème intégral de Kirchhoff