Loi d'Irwin-Hall

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi d'Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue sur Modèle:Math.

Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi de Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur Modèle:Math.

Définition

La loi d'Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de Modèle:Mvar variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur Modèle:Math :

$X=\sum _{k=1}^n{U}_k.$

Sa densité de probabilité est donnée par :

$f_X(x;n)=\frac{1}{2(n-1)!}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){(x-k)}^{n-1}\mathrm{sgn}(x-k)$

où Modèle:Math est la fonction signe :

$\mathrm{sgn}(x-k)=\{\begin{array}{cc}-1& x<k\\ 0& x=k\\ 1& x>k.\end{array}$

ou encore par :

$f_X(x;n)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){(x-k)}^{n-1}H(x-k)$

où Modèle:Math est la fonction de Heaviside :

$H(x-k)=\{\begin{array}{cc}0& x<k\\ 1& x>k.\end{array}$

Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré Modèle:Mvar sur les nœuds Modèle:Math. Plus précisément, pour Modèle:Math, la densité est

$f_X(x;n)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j(k,n)x^j$

où les coefficients Modèle:Math sont obtenus par la relation de récurrence en Modèle:Mvar :

$a_j(k,n)=\{\begin{array}{cc}1& k=0,j=n-1\\ 0& k=0,j<n-1\\ a_j(k-1,n)+(-1{)}^{n+k-j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j})k^{n-j-1}& k>0\end{array}$

Premières valeurs

• Pour Modèle:Math, Modèle:Mvar suit une loi uniforme continue :

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le x\le 1\\ 0& \text{sinon}\end{array}$

• Pour Modèle:Math, Modèle:Mvar suit une loi triangulaire :

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}x& 0\le x\le 1\\ 2-x& 1\le x\le 2\end{array}$

• Pour Modèle:Math,

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{x}^2& 0\le x\le 1\\ \frac{1}{2}(-2x^2+6x-3)& 1\le x\le 2\\ \frac{1}{2}(x^2-6x+9)& 2\le x\le 3\end{array}$

• Pour Modèle:Math,

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{6}{x}^3& 0\le x\le 1\\ \frac{1}{6}(-3x^3+12x^2-12x+4)& 1\le x\le 2\\ \frac{1}{6}(3x^3-24x^2+60x-44)& 2\le x\le 3\\ \frac{1}{6}(-x^3+12x^2-48x+64)& 3\le x\le 4\end{array}$

• Pour Modèle:Math,

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{24}{x}^4& 0\le x\le 1\\ \frac{1}{24}(-4x^4+20x^3-30x^2+20x-5)& 1\le x\le 2\\ \frac{1}{24}(6x^4-60x^3+210x^2-300x+155)& 2\le x\le 3\\ \frac{1}{24}(-4x^4+60x^3-330x^2+780x-655)& 3\le x\le 4\\ \frac{1}{24}(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)& 4\le x\le 5\end{array}$

Propriétés

• L'espérance et la variance valent respectivement Modèle:Sfrac et Modèle:Sfrac.

• La probabilité que Modèle:Mvar soit compris entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar+1 est égal à $\frac{1}{n!}⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩$, où $⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩$ est un nombre eulérien.

• La loi de la partie fractionnaire de Modèle:Mvar est une loi uniforme sur [0,1].

Voir aussi

Bibliographie

• Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., Modèle:P.. Modèle:Doi Modèle:JSTOR
• Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., Modèle:P.. Modèle:Doi Modèle:JSTOR