Méthodes de quadrature de Gauss

Points utilisés pour une méthode de quadrature de Gauss.

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.

Les formules de Gauss jouent un rôle déterminant dans la méthode des éléments finis.

Principe général

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\varpi (x)\mathrm{d}x.$

Le domaine d'intégration Modèle:Math couvre plusieurs cas :

• intervalles bornés : comme Modèle:Math, Modèle:Math, etc.
• demi-droite réelle : Modèle:Math, Modèle:Math,
• la droite réelle tout entière : ℝ.

Les méthodes sont de la forme

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\varpi (x)\mathrm{d}x\approx \sum _{i=1}^n{\omega }_{i}f(x_i)$

où $\varpi :(a,b)\to {ℝ}_{+}$ est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les ${\omega }_i$ sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points Modèle:Mvar sont appelés les nœuds de la quadrature.

Théorème fondamental

Pour Modèle:Mvar donné :

• Les Modèle:Mvar nœuds Modèle:Mvar sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré Modèle:Mvar, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré Modèle:Mvar-1 pour le produit scalaire $⟨h,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}h(x)g(x)\varpi (x)\mathrm{d}x$.
• Pour tout Modèle:Mvar, ${\omega }_i$ est égal à $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)\varpi (x)\mathrm{d}x$, où Modèle:Mvar est le polynôme interpolateur de Lagrange de degré Modèle:Math, prenant la valeur 1 en Modèle:Mvar, et 0 en les Modèle:Mvar pour Modèle:Mvar différent de Modèle:Mvar.
• Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à Modèle:Math, il y a égalité entre $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\varpi (x)\mathrm{d}x$ et $\sum _{i=1}^n{\omega }_{i}f(x_i)$.

Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.

Principales configurations de quadrature de Gauss

Domaine d'intégration Modèle:Math	Fonction de pondération $\varpi (x)$	Famille de polynômes orthogonaux
Modèle:Math	Modèle:Math	Legendre
Modèle:Math	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta },\alpha ,\beta >-1$	Jacobi
Modèle:Math	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Tchebychev (premier type)
Modèle:Math	$\sqrt{1-x^2}$	Tchebychev (second type)
ℝModèle:Exp	${\mathrm{e}}^{-x}$	Laguerre
ℝ	${\mathrm{e}}^{-x^2}$	Hermite

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :

$I(f)=\sum _{i=1}^n{\omega }_{i}f(x_i).$

On définit l'erreur comme $E(f)=|I-I(f)|$. Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de Modèle:Math.

Cas particulier pour un intervalle fermé

Le domaine d'intégration Modèle:Math peut être changé (au moyen d'un changement de variable) en Modèle:Math avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(\frac{b-a}{2}x+\frac{a+b}{2})\mathrm{d}x.$

L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :

$\frac{b-a}{2}\sum _{i=1}^n{\omega }_{i}f(\frac{b-a}{2}{x}_i+\frac{a+b}{2}).$

où les Modèle:Mvar sont ici relatifs à l'intervalle Modèle:Math.

Méthodes courantes

Méthode de Gauss-Legendre

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment Modèle:Math. Les n nœuds sont les racines du n-ième polynôme de Legendre, Modèle:Math, et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :

${\omega }_i=\frac{-2}{(n+1)P{\text{'}}_n(x_i)P_{n+1}(x_i)}=\frac{2}{(1-x_i^2)P{\text{'}}_n(x_i{)}^2}.$

On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.

Nombre de points, n	Poids $({\omega }_i)$	Points $(x_i)$	Polynôme de Legendre
1	2	0	x
2	1, 1	–Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt	(3xModèle:2 – 1)/2
3	5/9, 8/9, 5/9	–Modèle:Sqrt, Modèle:Math, Modèle:Sqrt	(5xModèle:3 – 3x)/2

Exemple

On cherche à déterminer $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(x+1{)}^2\mathrm{d}x$. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(x+1{)}^2\mathrm{d}x=1{(\frac{1}{\sqrt{3}}+1)}^2+1{(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1)}^2=\frac{8}{3}.$

On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de Modèle:Math :

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(x+1{)}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{8}{3}.$

Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

Méthode de Gauss-Tchebychev

Cette formule est associée au poids $\varpi (x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$ sur Modèle:Math. Pour une formule à n points, les nœuds sont

$x_i=\cos \left(\frac{(2i-1)\pi }{2n}\right)$

et les coefficients :

$w_i=\frac{\pi }{n}.$

Méthode de Gauss-Laguerre

Cette formule est associée au poids $\varpi (x)={\mathrm{e}}^{-x}$ sur Modèle:Math. Les n nœuds sont les n racines du n-ième polynôme de Laguerre L_n, et les coefficients sont

$w_i=\frac{1}{(n+1)L{\text{'}}_n(x_i)L_{n+1}(x_i)}.$

Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés analytiquement que pour n petit. Par exemple, pour n = 2 :

n	$x_i$	$w_i$
2	$2\pm \sqrt{2}$	$\frac{2\mp \sqrt{2}}{4}$

Maintenant, pour intégrer une fonction Modèle:Math sur ℝModèle:Exp, il faut remarquer que

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{\varpi (x)}\varpi (x)\mathrm{d}x.$

Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction $g(x)=f(x)/\varpi (x).$

Méthode de Gauss-Hermite

Sur ℝ, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération $\varpi (x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$. Pour une formule à n points, les Modèle:Math sont calculés comme les n racines du n-ième polynôme d'Hermite H_n ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de

$w_i=\frac{2^{n+1}n!\sqrt{\pi }}{[{H_n}^{\prime }(x_i){]}^2}.$

Concernant l'intégration de f sur ℝ, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction $f(x){\mathrm{e}}^{x^2}.$

Autres méthodes de quadrature de Gauss

Méthodes de Gauss-Lobatto

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Modèle:Lien sur l'intervalle Modèle:Math, on impose parmi les Modèle:Math points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :

$a=x_1<x_2<\cdots <x_{r+1}=b.$

Pour un ordre de quadrature Modèle:Math, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du Modèle:MathModèle:E polynôme orthogonal :

$\mathrm{\forall }i=2,\dots ,r,P_{r^{\prime }-1}(x_i)=0.$

Méthodes de Gauss-Radau

Modèle:... Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle Modèle:Math, on impose parmi les Modèle:Math points de quadrature une des extrémités :

$a=x_1<x_2<\cdots <x_{r+1}.$

Par symétrie, on peut également fixer Modèle:Math comme point.

Pour un ordre de quadrature Modèle:Math, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :

$\frac{P_{r-1}(x)+P_r(x)}{x-a}.$

Calcul des points et poids de quadrature

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage d'Abramowitz et Stegun.

Voir aussi

• Calcul numérique d'une intégrale
• Méthode des trapèzes
• Méthode de Simpson
• Formule de Newton-Cotes