Mesure de Mahler

En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres .

Définition

La mesure de Mahler $M(p)$ d'un polynôme $p(x)\in ℂ[x]$ à coefficients réels ou complexes est par définition :

$M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }\Vert p{\Vert }_{\tau }=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })|)d\theta ).$

où

$\Vert p{\Vert }_{\tau }={(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta )}^{1/\tau }$

est la norme $L_{\tau }$ de $p$. A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$

on obtient l'expression :

$M(p)=|a|\prod _{i=1}^n\max \{1,|{\alpha }_i|\}=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|$.

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

$m(p)=\log M(p)$ .

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique $\alpha$ est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$.

Propriétés

• La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire : $M(pq)=M(p)\cdot M(q).$
• Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a $M(p)=1$ .
• Théorème de Kronecker : Si $p$ un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et $M(p)=1$ , alors soit $p(z)=z$ , soit $p$ est un polynôme cyclotomique.
• La Modèle:Lien stipule qu'il existe une constante $\mu >1$ telle que tout polynôme irréductible $p$ à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie $M(p)>\mu$ .
• La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

Valeurs spéciales des fonctions L

Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth

$m(1+x_1+x_2)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }L({\chi }_{-3},2)$

où

$L({\chi }_{-3},s)=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}-\frac{1}{5^s}+-\dots$ .

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif $f$ , il existe un polynôme de Laurent $P_f\in \mathbb{Z}(x,y)$ et un nombre rationnel $r_f\in \mathbb{Q}$ tel que

$m(P_f)=r_f{d}_F$

où

$d_f=\frac{f\sqrt{f}}{4\pi }L({\chi }_{-f},2)$

est le discriminant du caractère ${\chi }_{-f}(n)=\left(\frac{-f}{n}\right)$.

Une approche qui remonte à Modèle:Harvsp consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables

La mesure de Mahler $M(p)$ d'un polynôme $p(x_1,\dots ,x_n)\in ℂ[x_1,\dots ,x_n]$ est défini de manière analogue par la formule

$M(p)=\exp (\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln \left(|p({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_1},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_2},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_n})|\right)\mathrm{d}{\theta }_1\mathrm{d}{\theta }_2\cdots \mathrm{d}{\theta }_n).$

On peut montrer que $M(p)$ converge Modèle:Harv.

Pour $𝒓=(r_1,\dots ,r_n)\in {\mathbb{N}}^n$, soit

$q(𝒓):=\min \{\max \{|s_j|:1\le j\le N\}:s=(s_1,\dots ,s_N)\in {\mathbb{Z}}^N,s\ne (0,\dots ,0)\text{and}\sum _{j=1}^N{s}_j{r}_j=0\}$

Alors on a :

$M(p(x_1,\dots ,x_n))=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{𝒓\in {\mathbb{N}}^n}{q(𝒓)\to \mathrm{\infty }}}{\lim }M(p(x^{r_1},x^{r_2},\dots ,x^{r_n})).$

Bibliographie

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• Modèle:Ouvrage. — Réimpression dans la collection Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser Modèle:ISBN, xviii + 310 p. (2011).
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Liens externes

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