Moyenne contre-harmonique

En mathématiques, une moyenne contre-harmonique est une fonction complémentaire de la moyenne harmonique. La moyenne contre-harmonique est un cas particulier de la moyenne de Lehmer, $L_p$, où p = 2.

Définition

La moyenne contre-harmonique d'un ensemble de nombres positifs est définie comme la moyenne arithmétique des carrés des nombres divisée par la moyenne arithmétique des nombres :$$\begin{array}{cc}\mathrm{C}(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\frac{\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)}{\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)},\\ & =\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}.\end{array}$$

Propriétés

Il est facile de montrer que la moyenne contre-harmonique satisfait les propriétés caractéristiques d'une moyenne d'une liste de valeurs $𝐱$ :

• $\min \left(𝐱\right)\le \mathrm{C}\left(𝐱\right)\le \max \left(𝐱\right)$
• pour tout t > 0, $\mathrm{C}(t\cdot {𝐱}_1,t\cdot {𝐱}_2,\dots ,t\cdot {𝐱}_n)=t\cdot C({𝐱}_1,{𝐱}_2,\dots ,{𝐱}_n)$

La première propriété implique la propriété du point fixe, que pour tout k > 0,

$\mathrm{C}(k,k,...,k)=k$

La moyenne contre-harmonique a une valeur supérieure à la moyenne arithmétique et également supérieure à la moyenne quadratique :$$\min (𝐱)\le \mathrm{H}(𝐱)\le \mathrm{G}(𝐱)\le \mathrm{L}(𝐱)\le \mathrm{A}(𝐱)\le \mathrm{R}(𝐱)\le \mathrm{C}(𝐱)\le \max (𝐱)$$ où x est une liste de valeurs, Modèle:Math est la moyenne harmonique, Modèle:Math est la moyenne géométrique, Modèle:Math est la moyenne logarithmique, Modèle:Math est la moyenne arithmétique, Modèle:Math est la moyenne quadratique et Modèle:Math est la moyenne contre-harmonique. À moins que toutes les valeurs de x ne soient identiques, les inégalités sont dans le cas général strictes.

Le nom contre-harmonique peut être dû au fait que lorsque l'on prend la moyenne de seulement deux variables, la moyenne contre-harmonique est autant supérieure à la moyenne arithmétique que la moyenne arithmétique n'est supérieure à la moyenne harmonique (c'est-à-dire que la moyenne arithmétique des deux variables est égale à la moyenne arithmétique de leur moyenne harmonique et contre-harmonique).

Formules à deux variables

D'après les formules de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique de deux variables, on a : $$\begin{array}{cc}\mathrm{A}(a,b)& =\frac{a+b}{2}\\ \mathrm{H}(a,b)& =\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=\frac{2ab}{a+b}\\ \mathrm{C}(a,b)& =2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\ & =a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b{)}^2-2ab}{a+b}\\ & =\frac{a^2+b^2}{a+b}\end{array}$$ Notons que pour deux variables, la moyenne arithmétique des moyennes harmonique et contre-harmonique est exactement égale à la moyenne arithmétique (comme vu précédemment) :

$\mathrm{A}(\mathrm{H}(a,b),\mathrm{C}(a,b))=\mathrm{A}(a,b)$

Quand Modèle:Mvar tend vers 0, Modèle:Math tend également vers 0. La moyenne harmonique est très sensible aux faibles valeurs. En revanche (et symétriquement), la moyenne contre-harmonique est sensible aux valeurs plus grandes, donc lorsque Modèle:Mvar tend vers 0 alors Modèle:Math tend vers Modèle:Mvar (donc leur moyenne reste Modèle:Math).

Il existe deux autres relations notables entre les moyennes à deux variables. Premièrement, la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique est égale à la moyenne géométrique des deux valeurs :$$\mathrm{G}(\mathrm{A}(a,b),\mathrm{H}(a,b))=\mathrm{G}(\frac{a+b}{2},\frac{2ab}{a+b})=\sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot \frac{2ab}{a+b}}=\sqrt{ab}=\mathrm{G}(a,b)$$La deuxième relation est que la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et contre-harmonique est la moyenne quadratique :$$\begin{array}{cc}\mathrm{G}(\mathrm{A}(a,b),\mathrm{C}(a,b))=& \mathrm{G}(\frac{a+b}{2},\frac{a^2+b^2}{a+b})\\ =& \sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot \frac{a^2+b^2}{a+b}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\\ =& \mathrm{R}(a,b)\end{array}$$La moyenne contre-harmonique de deux variables peut être construite géométriquement à l'aide d'un trapèze (cf. [1] ).

Constructions supplémentaires

La moyenne contre-harmonique peut être construite sur un cercle similaire à la façon dont les moyennes pythagoriciennes de deux variables y sont construites. La moyenne contre-harmonique est le reste du diamètre sur lequel se situe la moyenne harmonique.

Propriétés

La moyenne contre-harmonique d'une variable aléatoire est égale à la somme de la moyenne arithmétique et de la variance divisée par la moyenne arithmétique. Puisque la variance est toujours positive, la moyenne contre-harmonique est toujours supérieure ou égale à la moyenne arithmétique.

Le rapport de la variance sur la moyenne arithmétique a été proposé comme statistique de test par Clapham. Cette statistique est la moyenne contre-harmonique moins un.

Elle est également liée à la statistique de Katz: $$J_n=\sqrt{\frac{n}{2}}\frac{s^2-m}{m}$$où m est la moyenne arithmétique, s² la variance et n est la taille de l'échantillon.

J_n est asymptotiquement distribué normalement avec une moyenne de 0 et une variance de 1.

Utilisations en statistiques

Le problème d'un échantillon biaisé par la taille a été discuté par Cox en 1969 sur un problème d'échantillonnage des fibres. L'espérance d'un échantillon biaisé en taille est égale à sa moyenne contre-harmonique.

La probabilité qu'une fibre soit échantillonnée est proportionnelle à sa longueur. Pour cette raison, la moyenne habituelle de l'échantillon (moyenne arithmétique) est un estimateur biaisé de la vraie moyenne. Pour voir cela, considérez$$g(x)=\frac{xf(x)}{m}$$où f(x) est la distribution réelle de la population, g(x) est la distribution pondérée par la longueur et m est la moyenne arithmétique de l'échantillon. Prendre l'espérance habituelle de la moyenne ici donne la moyenne contre-harmonique plutôt que la moyenne (arithmétique) habituelle de l'échantillon. Ce problème peut être surmonté en prenant à la place l'espérance de la moyenne harmonique (1/x). L'espérance et la variance de 1/x sont$$\mathrm{E}\left[\frac{1}{x}\right]=\frac{1}{m}$$et une variance $$\mathrm{Var}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{m\mathrm{E}(\frac{1}{x}-1)}{n{m}^2}$$où Modèle:Formule est l'opérateur d'espérance. Asymptotiquement Modèle:Formule est distribué normalement.

L'efficacité asymptotique de l'échantillonnage biaisé par la longueur dépend - par rapport à l'échantillonnage aléatoire - de la distribution sous-jacente. si f (x) est log normal, l'efficacité est de 1 tandis que si la population est distribuée gamma d'indice b, l'efficacité est de Modèle:Formule .

Cette distribution a été utilisée dans plusieurs domainesModèle:,.

Elle a été utilisée dans l'analyse d'images.

Histoire

La moyenne contre-harmonique a été découverte par le mathématicien grec Eudoxe au Modèle:-s-

Articles connexes

• Moyenne harmonique
• Moyenne de Lehmer
• Moyenne pythagoricienne

Références

• Essay #3 - Some "mean" Trapezoids, de Shannon Umberger : [2]
• Construction de la moyenne contre-harmonique dans un trapèze : [3]
• Moyennes dans le trapèze : [4]
• Moyennes de nombres complexes : [5]
• Proofs without Words / Exercises in Visual Thinking, par Roger B. Nelsen, page 56,Modèle:ISBN
• Modèle:MathWorld
• Modèle:Article.

Liens externes

• Contraharmonic Proportion at PlanetMath.