Moyenne identrique

Comparaisons entre les moyennes arithmétique (bleu), géométrique (vert), harmonique (violet) et identrique (rouge) de 1 et x, pour x entre 1 et 5.

La moyenne identrique de deux nombres réels positifs x , y est définie comme :

$\begin{array}{cc}I(x,y)& =\frac{1}{\mathrm{e}}\cdot \underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }\sqrt[\xi -\eta ]{\frac{{\xi }^{\xi }}{{\eta }^{\eta }}}\\ & =\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }\exp (\frac{\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }-1)\\ & =\{\begin{array}{cc}x& \text{si }x=y\\ \frac{1}{\mathrm{e}}\sqrt[x-y]{\frac{x^x}{y^y}}& \text{sinon.}\end{array}\end{array}$

Elle peut être dérivée du théorème des accroissements finis en considérant la sécante de la courbe de la fonction $x\mapsto x\cdot \ln x$. La moyenne identrique est un cas particulier de la moyenne de Stolarsky, et, en tant que telle, peut être généralisée à davantage de variables par le Modèle:Lien.

Motivation

On peut montrer simplement que la limite de la moyenne arithmétique des valeurs contenues dans un intervalle Modèle:Math est l'espérance mathématique de la fonction identité sur Modèle:Math : en effet, pour Modèle:Mvar continue sur un intervalle Modèle:Math, on considère Modèle:Math points Modèle:Math. Alors :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction Modèle:Mvar continue positive sur un intervalle Modèle:Math est moins évidente : en posant

$\ell =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\prod _{k=1}^{n}f(x_k)}$

on a :

$\ln (\ell )=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (f(x_k))=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (f(x))\mathrm{d}x$

On en déduit :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{x}_k}=\exp (\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (x)\mathrm{d}x)$

Or :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (x)\mathrm{d}x=[x\ln x-x{]}_a^b=b\ln (b)-b-a\ln (a)+a=\ln \left(\frac{b^b}{a^a}{\mathrm{e}}^{-(b-a)}\right)$

On en déduit ainsi :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{x}_k}=I(a,b).$

Comparaison

Pour deux nombres positifs a et b, on a l'inégalité:

$H(a,b)<G(a,b)<L(a,b)<P(a,b)<I(a,b)<A(a,b)$

où :

• H désigne la moyenne harmonique ;
• G désigne la moyenne géométrique ;
• L désigne la moyenne logarithmique ;
• P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ;
• A désigne la moyenne arithmétique.

De même, si MModèle:Ind désigne la moyenne d'ordre p, alors:

$M_{2/3}(a,b)<I(a,b)<M_{\ln 2}(a,b)$

Voir aussi

• Moyenne
• Moyenne logarithmique