Moyenne de Seiffert

En analyse, les moyennes de Seiffert sont un genre de moyenne intermédiaires entre les moyennes géométrique et arithmétique.

Historique

Seiffert a défini ces moyennes en s'intéressant aux valeurs définissables comme moyenne contenue entre deux moyennes d'ordre p, comme la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres positifs.

Définitions

Dans les inégalités bornant les moyennes :

• Modèle:Mvar désigne la moyenne d'ordre p ;
• Modèle:Mvar, la moyenne arithmétique ;
• Modèle:Mvar, la moyenne quadratique ;
• Modèle:Mvar, la moyenne logarithmique ;
• Modèle:Mvar, la moyenne identrique.

Première moyenne de Seiffert

La première moyenne de Seiffert a été définie en 1993:

$P(a,b)=\{\begin{array}{cc}\frac{a-b}{2\arcsin \left(\frac{a-b}{a+b}\right)}=\frac{a-b}{4\arctan \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)-\pi }& \text{ si }a\ne b,\\ a& \text{ si }a=b.\end{array}$

On a les encadrements suivants:

$L(a,b)⩽P(a,b)⩽I(a,b)$

$M_{1/2}(a,b)⩽P(a,b)⩽M_{2/3}(a,b)$

$M_{\ln (2)/\ln (\pi )}(a,b)⩽P(a,b)$

Deuxième moyenne de Seiffert

La deuxième moyenne de Seiffert a été définie en 1993:

$T(a,b)=\{\begin{array}{cc}\frac{a-b}{2\arctan \left(\frac{a-b}{a+b}\right)}& \text{ si }a\ne b,\\ a& \text{ si }a=b.\end{array}$

On a les encadrements suivants:

$A(a,b)⩽T(a,b)⩽Q(a,b)$

$M_{\ln (2)/\ln (\pi /2)}(a,b)⩽T(a,b)⩽M_{5/3}(a,b)$

Généralisation

On parle de moyenne de type Seiffert ou moyenne de Seiffert généralisée pour les moyennes sous la formeModèle:,:

$M_g(a,b)=\frac{a-b}{2g\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}$

pour toute fonction Modèle:Mvar vérifiant :

$\mathrm{\forall }z\in [0;1[,\frac{z}{1+z}⩽g(z)⩽\frac{z}{1-z}$

On peut affirmer que la moyenne logarithmique est une moyenne de type Seiffert en remarquant que :

$L(a,b)=\frac{a-b}{\ln (a)-\ln (b)}=\frac{a-b}{2\mathrm{artanh}\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}$

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article.
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité arithmético-géométrique