Polarité trilinéaire

En géométrie euclidienne, la polarité trilinéaire est une certaine correspondance entre les points du plan d'un triangle ne se trouvant pas sur les côtés du triangle et les droites du plan du triangle ne passant pas par les sommets du triangle. Coxeter précise cependant : « Bien qu'on l'appelle une polarité, ce n'est pas vraiment une polarité du tout, car les pôles de droites concurrentes ne sont pas des points colinéaires. » C'est Jean-Victor Poncelet (1788–1867), un ingénieur et mathématicien français, qui a introduit l'idée de la polaire trilinéaire d'un point en 1865Modèle:,.

Définitions

Construction d'une polaire trilinéaire d'un point Modèle:Mvar Modèle:Legend Modèle:Legend Modèle:Legend-line Modèle:Legend-line

Soit Modèle:Formule un triangle plan et soit Modèle:Mvar un point quelconque du plan du triangle non situé sur les côtés du triangle. En bref, la polaire trilinéaire de Modèle:Mvar est l'axe de l'homologie entre le triangle cévien de Modèle:Mvar et le triangle Modèle:Formule .

Plus précisément, on trace les droites Modèle:Mvar qui intersectent les côtés Modèle:Mvar en Modèle:Mvar respectivement. Le triangle Modèle:Formule est le triangle cévien de Modèle:Mvar par rapport au triangle Modèle:Formule . Les paires de droites Modèle:Formule se croisent respectivement en Modèle:Mvar respectivement. D'après le théorème de Desargues, les points Modèle:Mvar sont colinéaires. La droite de colinéarité est l'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Formule et le triangle Modèle:Formule . La droite Modèle:Mvar est la polaire trilinéaire du point Modèle:Mvar.

Les points Modèle:Mvar peuvent également être obtenus comme les conjugués harmoniques de Modèle:Mvar par rapport aux paires de points Modèle:Formule respectivement. Poncelet a utilisé cette idée pour définir le concept de polaires trilinéaires.

Si la droite Modèle:Mvar est la polaire trilinéaire du point Modèle:Mvar par rapport au triangle de référence Modèle:Formule alors Modèle:Mvar est appelé le pôle trilinéaire de la droite Modèle:Mvar par rapport au triangle de référence Modèle:Formule .

Équation trilinéaire

Soit Modèle:Formule les coordonnées trilinéaires du point Modèle:Mvar. Alors l'équation trilinéaire de la polaire trilinéaire de Modèle:Mvar est

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=0.$

Construction du pôle trilinéaire

Construction d'un pôle trilinéaire d'une ligne Modèle:Mvar Modèle:Legend-line Modèle:Legend Modèle:Legend Modèle:Legend-line

Une droite Modèle:Mvar croise les côtés Modèle:Mvar (étendus) du triangle Modèle:Formule en Modèle:Mvar respectivement. Les couples de droites Modèle:Formule se rencontrent en Modèle:Mvar. Les triangles Modèle:Formule et Modèle:Formule sont homologiques et soit Modèle:Mvar le centre de l'homologie. Modèle:Mvar est le pôle trilinéaire de la ligne Modèle:Mvar.

Quelques polaires trilinéaires

Certaines des polaires trilinéaires sont bien connues.

• La polaire trilinéaire du centre de gravité du triangle Modèle:Formule est la droite à l'infini.
• La polaire trilinéaire du point symédian est l'axe de Lemoine du triangle Modèle:Formule .
• Le pôle trilinéaire de l'orthocentre est l'axe orthique.
• Les polaires trilinéaires ne sont pas définies pour les points coïncidant avec les sommets du triangle Modèle:Formule .

Pôles de faisceaux de droites

Animation illustrant le fait que le lieu des pôles trilinéaires d'un faisceau de droites passant par un point fixe Modèle:Mvar est une conique circonscrite du triangle de référence.

Soit Modèle:Mvar de coordonnées trilinéaires Modèle:Formule le pôle d'une droite passant par un point fixe Modèle:Mvar de coordonnées trilinéaires Modèle:Formule. L'équation de cette droite est

$\frac{x}{X}+\frac{y}{Y}+\frac{z}{Z}=0.$

Puisqu'elle passe par Modèle:Mvar ,

$\frac{x_0}{X}+\frac{y_0}{Y}+\frac{z_0}{Z}=0.$

Ainsi, le locus de Modèle:Mvar est

$\frac{x_0}{x}+\frac{y_0}{y}+\frac{z_0}{z}=0.$

Il s'agit d'une conique circonscrite au triangle de référence Modèle:Formule . Ainsi le lieu des pôles d'un faisceau de droites passant par un point fixe Modèle:Mvar est une conique circonscrite Modèle:Mvar au triangle de référence.

On peut montrer que Modèle:Mvar est le perspecteur de Modèle:Mvar, à savoir, où Modèle:Formule et le triangle polaire par rapport à Modèle:Mvar sont homologiques. Le triangle polaire est délimité par les tangentes à Modèle:Mvar aux sommets de Modèle:Formule . Par exemple, la polaire trilinéaire d'un point du cercle circonscrit doit passer par son perspecteur, le point de Lemoine X(6).

Liens externes

• Modèle:En Trilinear Polar sur geometrikon
• Modèle:En Isotomic image of a line sur geometrikon