Théorème de Prokhorov

En mathématiques, et plus précisément en théorie de la mesure, le théorème de Prokhorov relie le concept de tension à la compacité relative dans l'espace des mesures de probabilité, ou plus généralement des mesures finies. Ce théorème porte le nom du mathématicien Iouri Prokhorov.

Définitions

Soit $\mathrm{\Omega }$ un espace topologique complètement régulier. Cette hypothèse couvre les deux cas particuliers importants : espace localement compact et espace métrisable.

${𝒞}_b(\mathrm{\Omega })$ désigne l'espace de Banach des fonctions continues bornées sur $\mathrm{\Omega }$ (muni de la norme uniforme) et ${𝒞}_0(\mathrm{\Omega })$ le sous-espace des fonctions nulles à l'infini (c'est-à-dire les fonctions $f$ telles que pour tout $ϵ>0$, il existe un compact $K\subset \mathrm{\Omega }$ tel que $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }\setminus K|f(x)|<ϵ$).

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de ${𝒞}_0(\mathrm{\Omega })$ est l'espace ${ℳ}_b(\mathrm{\Omega })$ des mesures de Radon bornées. Il contient l'ensemble ${ℳ}_b^{+}(\mathrm{\Omega })$ des mesures positives bornées et le sous-ensemble $𝒫$ des mesures de probabilité.

On rappelle que :

• ${ℳ}_b(\mathrm{\Omega })$ est muni de deux topologies faibles (qui coïncident si $\mathrm{\Omega }$ est compact) :
  • $𝔖({ℳ}_b(\mathrm{\Omega }),{𝒞}_0(\mathrm{\Omega }))$ (topologie faible-*) : la topologie de la convergence simple sur ${𝒞}_0(\mathrm{\Omega })$,
  • $𝔖({ℳ}_b(\mathrm{\Omega })),{𝒞}_b(\mathrm{\Omega }))$ (topologie étroite) : la topologie (plus fine) de la convergence simple sur ${𝒞}_b(\mathrm{\Omega })$ ;
• le cône convexe ${ℳ}_b^{+}(\mathrm{\Omega })$ est *-faiblement fermé.

Énoncé

Modèle:Énoncé Si l'espace $\mathrm{\Omega }$ est compact, la tension est trivialement toujours vérifiée en prenant $\mathrm{\forall }ϵ>0K_{ϵ}=\mathrm{\Omega }$, mais dans ce cas le théorème n'est qu'une expression inutilement compliquée du théorème de Banach-Alaoglu. Modèle:Démonstration/début Sens direct.

Toute fonction continue bornée sur $\mathrm{\Omega }$ se prolonge de façon unique en une fonction continue sur le compactifié de Stone-Čech $\check{\mathrm{\Omega }}$, et toute mesure de Radon bornée sur $\mathrm{\Omega }$ se prolonge en une mesure de Radon sur $\check{\mathrm{\Omega }}$ (mais il y a des mesures sur $\check{\mathrm{\Omega }}$ qui ne sont pas associées à des mesures sur $\mathrm{\Omega }$). La boule unité de ${ℳ}_b(\check{\mathrm{\Omega }})$ est étroitement compacte (ou *-faiblement : les deux topologies coïncident puisque $\check{\mathrm{\Omega }}$ est compact), il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite $\bar{M}$ de $M$ dans ${ℳ}_b(\check{\mathrm{\Omega }})$ est contenue dans ${ℳ}_b(\mathrm{\Omega })$.

Pour tout compact $K\subset \mathrm{\Omega }$ la fonction indicatrice $1_K$ est « s.c.s. » (semi-continue supérieurement) et bornée, donc enveloppe inférieure de fonctions continues bornées sur $\mathrm{\Omega }$, donc de fonctions continues ${\varphi }_i$ sur $\check{\mathrm{\Omega }}$ ; la fonction ${\psi }_K:\mu \mapsto {\psi }_K(\mu )=\mu (K)$ est donc s.c.s. sur ${ℳ}_b^{+}(\check{\mathrm{\Omega }})$ comme enveloppe inférieure des $\mu \mapsto \mu ({\varphi }_i)$.

Appliquons cela à l'un des $K_{ϵ}$ de l'énoncé. Soit $\mu \in \bar{M}$. Il existe un voisinage $V$ de $\mu$ tel que $\mathrm{\forall }\lambda \in V\lambda (K_{ϵ})<\mu (K_{ϵ})+ϵ$, or ce voisinage rencontre $M$, donc contient une probabilité $\lambda$ telle que $\lambda (K_{ϵ})>1-ϵ$, donc $\mu (K_{ϵ})>1-2ϵ$.

Par conséquent, en prenant successivement $ϵ=1/n$, on obtient $\mathrm{\forall }n\mu (\mathrm{\Omega })⩾1-2/n$ donc $\mu (\mathrm{\Omega })=1$.

Réciproque : démonstration pour $\mathrm{\Omega }$ localement compact.

Soit $A$ une partie compacte de $𝒫$, et soit $ϵ>0$. Pour toute probabilité $\mu \in A$ il existe un compact $K_{\mu }\subset \mathrm{\Omega }$ tel que $\mu (K_{\mu })>1-ϵ$. Comme $\mathrm{\Omega }$ est localement compact, $K_{\mu }$ a un voisinage ouvert $U_{\mu }$ d'adhérence compacte.

Le complémentaire $F_{\mu }$ de $U_{\mu }$ est un fermé tel que $\mu (F_{\mu })<ϵ$, et l'application $\lambda \mapsto \lambda (F_{\mu })$ est s.c.s. donc il existe un voisinage ouvert $V_{\mu }$ de $\mu$ tel que $\mathrm{\forall }\lambda \in V_{\mu }\lambda (F_{\mu })<ϵ$. Les $V_{\mu }$ sont un recouvrement ouvert de $A$, on peut en extraire un sous recouvrement fini par $V_{{\mu }_1},\dots ,V_{{\mu }_n}$. La réunion des ${\bar{U}}_{{\mu }_i},i=1\dots n$ est un compact $K$ tel que $\mathrm{\forall }\mu \in A\mu (K)>1-ϵ$. Modèle:Démonstration/fin

Généralisations

Une première généralisation, facile, passe des probabilités aux mesures positives finies : Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration/début C'est une simple adaptation de la démonstration pour les probabilités :

Sens direct.

Soit $R$ tel que $\mathrm{\forall }\mu \in M\Vert \mu \Vert ⩽R$ ($M$ est bornée, donc il existe de tels $R$).

La boule fermée de rayon $R$ de $ℳ(\check{\mathrm{\Omega }})$ est vaguement compacte, il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite $\bar{M}$ de $M$ dans $ℳ(\check{\mathrm{\Omega }})$ est contenue dans $ℳ(\mathrm{\Omega })$.

Soit $ϵ>0$ et $K_{ϵ}$ le compact associé. L'application $\lambda \mapsto \lambda (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K_{ϵ})$ est semi-continue inférieurement sur ${ℳ}_b^{+}(\check{\mathrm{\Omega }})$, donc pour toute mesure $\mu \in M$, il existe un voisinage (étroit) ouvert de $\mu$ tel que $\mathrm{\forall }\lambda \in V_{\mu }\lambda (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K_{ϵ})>\mu (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K_{ϵ})-ϵ$, et il existe $\lambda \in V_{\mu }\cap M$, qui vérifie donc $\lambda (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K_{ϵ})=\lambda (\mathrm{\Omega }\setminus K_{ϵ})<ϵ$ (en effet $\lambda$ est portée par $\mathrm{\Omega }$). On en déduit $\mu (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K_{ϵ})<2ϵ$.

On sait que $\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },\mu (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus \mathrm{\Omega })⩽\mu (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus K)$ ; en appliquant cela pour tous les $ϵ=1/2^n$, on obtient $\mu (\check{\mathrm{\Omega }}\setminus \mathrm{\Omega })=0$.

Réciproque : démonstration pour $\mathrm{\Omega }$ localement compact.

Soit $A$ étroitement compact dans ${ℳ}_b^{+}(\mathrm{\Omega })$.

Soit $ϵ>0$ ; pour toute $\mu \in A$ il existe un compact $K_{\mu }$ tel que $\mu (\mathrm{\Omega }\setminus K_{\mu })<ϵ$.

Comme $\mathrm{\Omega }$ est localement compact, $K_{\mu }$ a un voisinage ouvert $U_{\mu }$ d'adhérence compacte.

Le complémentaire $F_{\mu }$ de $U_{\mu }$ est un fermé tel que $\mu (F_{\mu })<ϵ$, et l'application $\lambda \mapsto \lambda (F_{\mu })$ est s.c.s., donc il existe un voisinage ouvert $V_{\mu }$ de $\mu$ tel que $\mathrm{\forall }\lambda \in V_{\mu }\lambda (F_{\mu })<ϵ$. Les $V_{\mu }$ sont un recouvrement ouvert de $A$, on peut en extraire un sous recouvrement fini par $V_{{\mu }_1},\dots ,V_{{\mu }_n}$.

La réunion des ${\bar{U}}_{{\mu }_i},i=1\dots n$ est un compact $K$ tel que $\mathrm{\forall }\mu \in A\mu (\mathrm{\Omega }\setminus K)<ϵ$.

$A$ est borné car $\mathrm{\forall }\mu \in {ℳ}_b^{+}(\mathrm{\Omega }),\Vert \mu \Vert =\mu (1)$ ; la fonction constante 1 étant évidemment continue bornée sur $\mathrm{\Omega }$, l'ensemble des $\mu (1)$ lorsque $\mu$ parcourt le compact étroit $A$ est borné. Modèle:Démonstration/fin

Le théorème est encore vrai si l'on supprime l'hypothèse de positivité : Modèle:Énoncé

Mais il faut prendre garde que la définition de la tension porte alors non pas sur les mesures $\mu \in M$ elles-mêmes mais sur leurs variations totales $|\mu |$. Les démonstrations données ci-dessus ne s'adaptent pas facilement à ce nouveau contexte, car l'application $\mu \mapsto |\mu |$ n'est pas étroitement continue.

Exemple : prendre sur $[0,\pi ]$ les mesures de densité $\sin (nx)$ : la suite $({\mu }_n)$ converge étroitement vers la mesure nulle mais la suite $(|{\mu }_n|)$ converge vers la mesure de densité constante $\frac{2}{\pi }$ ; variante : on prend ${\lambda }_{2n}={\mu }_n$ comme précédemment, et ${\lambda }_{2n+1}=0$ ; la suite $({\lambda }_n)$ tend encore étroitement vers la mesure nulle, mais la suite $(|{\lambda }_n|)$ diverge. De plus, les arguments de semi-continuité ne sont plus valables.

Modèle:Harvsp donne une démonstration dans le cas où $\mathrm{\Omega }$ est un espace polonais, et des variantes et contre-exemples. Modèle:Harvsp et Modèle:Harvsp donnent des démonstrations dans le cas général où $\mathrm{\Omega }$ est un espace complètement régulier.

Notes et références

• Modèle:Article, annoncé en 1969 dans une note aux CRAS
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
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