Théorème de prolongement de Dugundji
Le théorème de prolongement de Dugundji est un théorème de topologie générale dû au mathématicien américain James Dugundji[1]Modèle:,[2]Modèle:,[3]. Il est directement lié au théorème de Tietze-Urysohn — sur le prolongement des applications continues dans les espaces normaux — dont il est, en un certain sens, une généralisation[4].
Énoncé
Soient X un espace métrisable, A un fermé de X et L un espace localement convexe. Alors :
- toute application continue f de A dans L admet un prolongement continu F de X dans L dont l'image F(X) est incluse dans l'enveloppe convexe de f(A)[5]Modèle:,[6]Modèle:,[7]
ou, ce qui est équivalent :
- toute application continue de A dans un convexe K de L admet un prolongement continu de X dans K[8].
Comparaison avec le théorème de Tietze-Urysohn
La première version du théorème de prolongement de Tietze correspondait au cas particulier du théorème ci-dessus où l'espace L est la droite réelle. Elle a été généralisée par Urysohn en remplaçant l'espace métrisable X de départ par n'importe quel espace normal[9]. Le théorème de prolongement de Dugundji est une généralisation transverse, qui remplace l'espace ℝ d'arrivée par n'importe quel espace localement convexe[4]. Il existe une autre généralisation du théorème de Tietze, en supposant que l'espace X de départ est paracompact et que l'espace L d'arrivée est de Banach[10].
Démonstration
Pour une distance d fixée sur X, considérons, dans l'ouvert X\A, le recouvrement constitué des boules ouvertes B(x, d(x, A)/2) de X\A, quand x parcourt cet espace.
Puisque tout espace métrique est paracompact, il existe un recouvrement ouvert localement fini (UModèle:Ind)Modèle:Ind de X\A dont chaque ouvert est inclus dans l'une de ces boules : UModèle:Ind ⊂ B(xModèle:Ind, d(xModèle:Ind, A)/2).
On choisit alors une partition de l'unité (ϕModèle:Ind)Modèle:Ind subordonnée à ce recouvrement et pour tout i, un point aModèle:Ind de A tel que d(xModèle:Ind, aModèle:Ind) ≤ 2d(xModèle:Ind, A), et l'on prolonge f en posant :
L'application F est clairement continue sur X\A. Montrons[3] qu'elle l'est aussi en tout point a de A. Pour tout voisinage convexe C de f(a), il existe un réel δ > 0 tel que f(B(a, δ)∩A) ⊂ C. Pour affirmer que pour tout x ∈ B(a, δ/6)\A, f(x) ∈ C (ce qui conclura), il suffit d'utiliser que pour tout UModèle:Ind contenant x, aModèle:Ind ∈ B(a, δ), d'après les inégalités suivantes :
d(x, aModèle:Ind) ≤ d(x, xModèle:Ind) + d(xModèle:Ind, aModèle:Ind) ≤ d(x, xModèle:Ind) + 2d(xModèle:Ind, A) ≤ 5d(xModèle:Ind, A) – 5d(x, xModèle:Ind) ≤ 5d(x, A), d'où
d(a, aModèle:Ind) ≤ d(a, x) + d(x, aModèle:Ind) ≤ 6d(a, x).
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Article connexe
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Ouvrage
- ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ 4,0 et 4,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Harvsp.