Tribu engendrée

Étant donné un ensemble $𝒞$ de parties d'un même ensemble Modèle:Math, la tribu engendrée par $𝒞$, ou extension de Borel de $𝒞$Modèle:Note est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant $𝒞$. On la note $\sigma (𝒞)$ ou $B𝒞$Modèle:Note.

Définitions

Tribu engendrée par un ensemble de parties

On prouve facilement l'existence de $\sigma (𝒞)$ en la définissant comme l'intersection de toutes les tribus sur Modèle:Math qui contiennent $𝒞$ (cette intersection a un sens, puisqu'au moins une telle tribu existe, à savoir la tribu dite discrète formée de toutes les parties de Modèle:Math).

Tribu engendrée par une famille d'applications

On vérifie facilement que :

• la tribu engendrée est la plus petite tribu qui rende simultanément mesurables toutes les applications Modèle:Mvar.
• en notant $𝒜=\sigma (f_i,i\in I)$, pour toute application $g$ d'un espace mesurable $(Y,ℬ)$ vers $(X,𝒜)$, Modèle:Mvar est mesurable si et seulement si chaque $f_i\circ g$ l'est.

Exemples

• Soit $A\in 𝒫(X),A\ne X$ et $A\ne \varnothing$, alors $\sigma (\{A\})=\{\varnothing ,A,{}^{c}A,X\}$.
• Soit $ℒ=\{\{x\},x\in X\}$ l'ensemble des singletons de l'univers $X$. La tribu $\sigma (ℒ)$ est égale à $\{A\in 𝒫(X),A$ ou ${}^{c}A$ dénombrable $\}$.
• Dans un espace topologique, la tribu engendrée par les ouverts (ou, ce qui revient au même, par les fermés) est appelée la tribu borélienne.
• Étant donné un espace mesuré $(X,𝒜,\mu )$, la tribu engendrée par les éléments de $𝒜$ et les ensembles négligeables pour Modèle:Math est appelée la tribu complétée de $𝒜$. Elle est évoquée à l'article « Complétion d'une mesure ».

Construction transfinie

Un procédé de construction récurrence transfinie permet plus généralement une description de la tribu engendrée par une partie $𝒞$. Il a été appliqué dès 1898 par Émile Borel pour définir la famille qu'on appelle aujourd'hui tribu borélienne.

Pour le décrire posons d'abord une notation : pour $ℱ$ ensemble de parties d'un ensemble Modèle:Math, on notera ${ℱ}_{\sigma }$ l'ensemble des réunions dénombrables d'éléments de $ℱ$ et ${ℱ}_{\delta }$ l'ensemble des intersections dénombrables.

Une première idée, non concluante, pourrait être la suivante : on part de l'ensemble ${ℱ}_0$ composé des éléments de $𝒞$ et de leurs complémentaires. Pour construire de nouveaux éléments de la tribu engendrée, on applique aux parties qui figurent dans la classe ${ℱ}_0$ les opérations de réunion dénombrable et d'intersection dénombrable : on obtient ainsi une nouvelle classe ${ℱ}_1$. On recommence l'opération en posant ${ℱ}_2=({ℱ}_1{)}_{\sigma }\cup ({ℱ}_1{)}_{\delta }$ et ainsi de suite par récurrence. On pourrait espérer que la réunion de la suite croissante des ${ℱ}_n$ réponde à la question : elle n'est évidemment pas vide, chaque ${ℱ}_n$ est stable par complémentaire, les opérations de réunion ou d'intersection infinie envoient ${ℱ}_n$ dans ${ℱ}_{n+1}$. Mais ce dernier point n'entraîne pas qu'elles envoient la réunion des ${ℱ}_n$ dans elle-même : qu'on songe à une possible suite d'ensembles $(A_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}^{*}}$ où chaque $A_i$ est un élément de ${ℱ}_i\setminus {ℱ}_{i-1}$. Rien ne permet d'assurer que sa réunion ni son intersection sera elle aussi dans l'un des ${ℱ}_n$.

Cette idée peut pourtant être exploitée mais à condition de pousser plus loin la construction en effectuant une récurrence transfinie. On définit une application de source ${\mathrm{\aleph }}_1+1$ telle que à chaque ordinal $\alpha \in {\mathrm{\aleph }}_1+1$ l'application associe un ensemble de parties de Modèle:Math, selon la procédure suivante :

• ${ℱ}_0$ est l'ensemble composé des éléments de $𝒞$ et de leurs complémentaires. ;
• pour tout ordinal Modèle:Math, ${ℱ}_{\alpha +1}=({ℱ}_{\alpha }{)}_{\sigma }\cup ({ℱ}_{\alpha }{)}_{\delta }$ ;
• pour tout ordinal limite Modèle:Math, ${ℱ}_{\beta }=\bigcup _{\alpha <\beta }{ℱ}_{\alpha }$.

Notons Modèle:Math le premier ordinal non dénombrable ; on vérifie alors facilement que :

$\sigma (𝒞)=\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{ℱ}_{\alpha }.$

• L'inclusion dans le sens $\supset$ est facile - par récurrence transfinie on constate aisément que pour tout ordinal Modèle:Math, ${ℱ}_{\alpha }$ est inclus dans $\sigma (𝒞)$. Dès lors l'ensemble $\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{ℱ}_{\alpha }$ l'est aussi.
• Pour le sens $\subset$, on remarque que $𝒞\subset {ℱ}_0\subset \bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{ℱ}_{\alpha }$ et qu'il suffit donc de s'assurer que ce dernier ensemble est lui-même une tribu pour garantir qu'il contiendra $\sigma (𝒞)$. Or il est non vide de façon évidente, stable par complémentarité parce que chaque ${ℱ}_{\alpha }$ l'est (récurrence transfinie facile, à l'aide des lois de De Morgan pour le passage à un ordinal successeur), seule la stabilité par réunion dénombrable demande un peu d'attention. Soit donc $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{ℱ}_{\alpha }$ ; pour chaque $i$ notons ${\alpha }_i$ le plus petit ordinal tel que $A_i\in {ℱ}_{{\alpha }_i}$, et posons enfin $\beta =\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{\alpha }_i$. Comme réunion dénombrable d'ordinaux dénombrables, Modèle:Math est lui-même un ordinal dénombrable — il est alors aisé de vérifier que $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\in {ℱ}_{\beta +1}\subset \bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{ℱ}_{\alpha }$. La stabilité par réunion dénombrable est prouvée.

Lorsque Modèle:Math est un espace topologique métrisable et $𝒞$ la topologie sur Modèle:Math, cette construction admet des variantes. Il n'est ici pas nécessaire d'initialiser la récurrence en mêlant ouverts et fermés comme on le ferait si l'on suivait le mode d'emploi donné plus haut pour définir ${ℱ}_0$. En effet la métrisabilité garantit que tout fermé est un G_δ (et tout ouvert un F_σ) donc si l'on initialise la récurrence en prenant ${ℱ}_0=𝒞$, on retrouve les fermés dès ${ℱ}_1$ ; on peut bien sûr symétriquement choisir une initialisation à partir de l'ensemble des fermés. La considération conjointe de ces deux itérations parallèles conduit à l'introduction de notations standardisées, ces familles croissantes de classes jouant un rôle important en théorie descriptive des ensembles : c'est ce qu'on appelle la hiérarchie de Borel.

Un résultat de cardinalité

Modèle:ThéorèmeModèle:Démonstration Ce théorème s'applique notamment à la tribu borélienne sur l'espace ℝModèle:Exp, qui est engendrée par les pavés à coordonnées rationnelles. Plus généralement, sa conclusion est aussi valable sur tout espace de Lusin infini.

Extensions de fonctions d'ensembles

Dans les problèmes évoqués dans cette section, on dispose d'informations sur une fonction Modèle:Math définie sur une classe $𝒞$ de parties d'un ensemble Modèle:Math, et l'on souhaite les propager à toute la tribu engendrée $\sigma (𝒞)$.

Problèmes d'unicité

Dans cette problématique, on sait que Modèle:Math est la restriction d'une mesure ; on veut s'assurer disposer avec cette restriction d'assez d'informations au sujet pour caractériser complètement Modèle:Math.

Il s'avère que la connaissance d'une mesure sur une partie génératrice d'une tribu ne permet pas en général sa reconstitution : deux mesures peuvent coïncider sur une classe $𝒞$ sans pour autant coïncider sur toute la tribu $\sigma (𝒞)$.

Exemples :

• Sur $\mathrm{\Omega }=\{1\}$ singleton, on donne $\mu (\varnothing )=0$. La tribu engendrée par $\{\varnothing \}$ est $𝒫(\{1\})$ tout entier. En l’absence d’information sur $\mu (\{1\})$, il n’est pas possible de connaître Modèle:Math. Modèle:Math peut par exemple être la mesure nulle (si $\mu (\{1\})=0$), une mesure de probabilité (si $\mu (\{1\})=1$), ou tout multiple positif de cette dernière.
• Même si l'on sait que la mesure à reconstituer est une mesure de probabilité sur la tribu engendrée, sa reconstitution n'est pas forcément possible. Soit $\mathrm{\Omega }=\{aa,ab,ba,bb\}$ un ensemble à quatre éléments. L'ensemble de parties $\{\{aa,ab\},\{aa,ba\}\}$ est manifestement générateur de la tribu discrète. Pourtant, si l'on sait qu'une mesure de probabilité vérifie les deux conditions $P(\{aa,ab\})=1/2$ et $P(\{aa,ba\})=1/2$, deux reconstitutions au moins en sont-elles envisageables : peut-être tous les tirages sont-ils équiprobables, ou peut-être seuls les tirages aa et bb sont-ils possibles avec équiprobabilité.

Pour une mesure de probabilité, il existe toutefois une condition suffisante simple garantissant que ses valeurs sur $𝒞$ la caractérisent : il suffit que $𝒞$ soit stable par intersection finie (en jargon de théorie de la mesure, on dit que c'est un π-système). Précisément, on a :

La démonstration est immédiate à partir d'un lemme, dit « lemme de classe monotone » ou « théorème lambda-pi de Dynkin » :

Un exemple positif d'utilisation des résultats de cette section est la caractérisation des mesures de probabilité par leur fonction de répartition, l'ensemble des intervalles de la forme Modèle:Math étant générateur de la tribu borélienne et stable par intersection.

Problèmes d'existence

Ici le problème est de généraliser dans un cadre abstrait les idées qui ont abouti à la définition de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle : étant donné une classe d'ensembles $𝒞$ sur lesquels une définition de la mesure paraît très naturelle (les rectangles dans le cadre de la mesure de Lebesgue dans le plan), on dispose sur cette classe d'une fonction d'ensembles Modèle:Math raisonnable (l'aire). Quelles conditions seront-elles suffisantes pour que cette fonction d'ensembles puisse être prolongée à toute la tribu engendrée par $𝒞$, y compris les ensembles biscornus qu'elle peut contenir ?

Une réponse est apportée par le théorème d'extension de Carathéodory. En voici un énoncé possible (dans cet énoncé, on entend par « mesure » sur un anneau d'ensembles une application de cet anneau vers Modèle:Math, σ-additive et prenant au moins une valeur finie) :