Cône convexe

En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs.

Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points $\alpha x+\beta y$ avec$\alpha ,\beta >0$, $x$ et $y$ étant les points représentés sur la figure. Le dégradé transparent en haut à droite indique que les régions se prolongent à l'infini.

Définition

Soit $K$ un corps ordonné, comme le corps des rationnels $\mathbb{Q}$, celui des réels algébriques ou (plus couramment) celui des réels $ℝ$.

Un sous-ensemble $C$ d'un $K$-espace vectoriel $V$ est un cône convexe si $\alpha x+\beta y$ appartient à $C$, pour tous scalaires strictement positifs $\alpha$, $\beta$ et tous $x$, $y$ dans $C$, ce qui s'écrit de façon plus succincte : $\alpha C+\beta C\subset C$ pour tous $\alpha ,\beta >0$.

Cette définition équivaut à : C est à la fois un cône (c'est-à-dire que λC ⊂ C pour tout Modèle:Nobr — pour démontrer ⇒, on écrit λx = (λ/2)x + (λ/2)x) et un convexe (c'est-à-dire qu'il est stable par combinaisons convexes).

Plus simplement, un cône C est convexe si et seulement si C + C ⊂ C.

Exemples

L'ensemble vide et les sous-espaces vectoriels de V sont des cônes convexes.

Parmi d'autres exemples, on trouve :

• l'orthant positif $({ℝ}_{+}{)}^n$ (resp. strictement positif $({ℝ}_{+}^{*}{)}^n$) dans ${ℝ}^n$ et plus généralement, dans [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|ℝModèle:Exp]], l'ensemble des fonctions qui sont positives (resp. strictement positives) sur une partie donnée de X ;
• l'ensemble $\{x\in {ℝ}^n\mid x_1⩽\cdots ⩽x_n\}$ ;
• Modèle:Ancrele cornet ou cône du second ordre ou cône de Lorentz ${ℝ}_{▽}^{n+1}:=\{(x,z)\in {ℝ}^n\times ℝ\mid \Vert x{\Vert }_2⩽z\}$ ;
• les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives…

Pour tout convexe C de V, l'ensemble de tous les vecteurs λx tels que λ > 0 et x ∈ C est le plus petit cône convexe de V contenant C.

L'intersection de deux cônes convexes de V est un cône convexe, mais leur union peut être un cône non convexe.

La somme de deux cônes convexes de V est un cône convexe.

L'image d'un cône convexe par une application linéaire est un cône convexe. En particulier, si C est un cône convexe, il en est de même pour −C ; et C ∩ −C est le plus grand sous-espace vectoriel inclus dans C.

Les cônes tangents à un convexe sont convexes. Les cônes tangents et normaux sont des concepts importants dans les domaines de l'optimisation convexe, les inégalités variationnelles et les Modèle:Lien.

Le cône dual d'une partie quelconque est convexe.

Demi-espaces

Un hyperplan (vectoriel) de V est un sous-espace vectoriel maximum de V. Un demi-espace ouvert (resp. fermé) de V est un sous-ensemble H de V défini par L(x) > 0 (resp. L(x) ≥ 0), où L est une forme linéaire sur V. L'hyperplan défini par Modèle:Nobr est l'hyperplan « bord » de H.

Les demi-espaces (ouverts ou fermés) sont des cônes convexes. De plus, dans un espace localement convexe, tout cône convexe fermé non vide et différent de V est une intersection de demi-espaces fermés. 

Ordre partiel défini par un cône convexe

Un cône C convexe pointé et saillant est le cône positif de l'ordre partiel ≤ sur V défini par x ≤ y si et seulement si y – x ∈ C. (Si le cône n'est pas saillant, la même définition induit simplement préordre.) Si x ≤ y et xModèle:' ≤ yModèle:', alors on a x + xModèle:' ≤ y + yModèle:' et ax ≤ ay pour tout scalaire positif a. Un espace vectoriel muni d'un tel ordre est appelé un espace vectoriel ordonné. On peut citer comme exemples l'ordre produit sur Rⁿ et l'Modèle:Lien sur les matrices hermitiennes.

Références

Modèle:Références Modèle:Traduction/Référence, dont les références étaient :

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Modèle:Page h
  • Cône (géométrie)
  • Cône (topologie)
• Lemme de Farkas
• Théorème bipolaire