Moyenne de Stolarsky

Moyenne de Stolarsky de 1 et x, pour x entre 1 et 5, pour différents ordres

En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 .

Définition

Étant donné un nombre réel Modèle:Mvar différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre Modèle:Mvar de deux nombres réels strictement positifs Modèle:Mvar est définie par : $$S_p(a,b)=\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }{\left(\frac{y^p-x^p}{p(y-x)}\right)}^{1/(p-1)}=\{\begin{array}{cc}a& \text{si }a=b\\ {\left(\frac{b^p-a^p}{p(b-a)}\right)}^{1/(p-1)}& \text{sinon}\end{array}$$.

Obtention de cette moyenne

Étant donné une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $[a,b],a\ne b$, de dérivée strictement monotone sur $[a,b]$, il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel $c$ dans l'intervalle $]a,b[$ tel que $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ (qui est la valeur moyenne de $f^{\prime }$ sur $[a,b]$)

La moyenne de Stolarsky est précisément égale à

$c=f{\text{'}}^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$

lorsqu'on prend $f(x)=x^p$ .

Propriétés

$S_p(a,b)$ est bien une moyenne, car comprise entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. De plus on peut prolonger par continuité $p\mapsto S_p(a,b)$ à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.

Cas particuliers

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(a,b)$ est le minimum de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
• $S_{-2}(a,b)=\sqrt[3]{\frac{2a^2{b}^2}{a+b}}=\sqrt[3]{M_h(a,b)(M_g(a,b){)}^2}$ s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
• $S_{-1}(a,b)=\sqrt{ab}$ est leur moyenne géométrique.
• $\underset{p\to 0}{\lim }{S}_p(a,b)=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}$ est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule $f{\text{'}}^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$ en prenant $f(x)=\ln x$ .
• $S_{\frac{1}{2}}(a,b)={\left(\frac{\sqrt{b}+\sqrt{a}}{2}\right)}^2$ est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2.
• $\underset{p\to 1}{\lim }{S}_p(a,b)=\frac{1}{\mathrm{e}}{\left(\frac{b^b}{a^a}\right)}^{1/(b-a)}$ est leur moyenne identrique. Elle est obtenue à partir de la formule $f{\text{'}}^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$ en prenant $f(x)=x\cdot \ln x$ .
• $S_2(a,b)$ est leur moyenne arithmétique.
• $S_3(a,b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}=M_q(a,b,M_g(a,b))$ s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(a,b)$ est le maximum de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

Généralisations

Pour plusieurs variables

On peut généraliser cette moyenne à Modèle:Mvar + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient :

$S_p(x_0,\dots ,x_n)={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots ,x_n])$ avec $f(x)=x^p$ .

Pour une fonction quelconque

La définition $M_f(a,b)=f{\text{'}}^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$ pour $a,b>0$ est possible dès que la fonction $f$ est strictement convexe et dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. On a vu ci-dessus les cas $f(x)=x^p,\ln x,x\ln x$.

Pour $f(x)={\mathrm{e}}^x$, on a $M_f(a,b)=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}\right)$ dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène .

D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type $M_f$ .

Moyennes bi-paramétriques

On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par:

$S_{p,q}(a,b)=\{\begin{array}{cc}a& \text{si }a=b>0\\ S_p(a,b)& \text{si }q=0\\ {\left(\frac{q(b^p-a^p)}{p(b^q-a^q)}\right)}^{1/(p-q)}& \text{si}pq(p-q)\ne 0\\ \exp (-\frac{1}{p}+\frac{b^p\ln (b)-a^p\ln (a))}{b^q-a^q})& \text{si}p=q\ne 0\\ G(a,b)& \text{si}p=q=0\end{array}$.

Voir aussi

• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Lehmer