Convergence simple

Modèle:Homon En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Exemple

Exemple : les fonctions continues en vert Modèle:Math convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Illustrons la convergence simple sur la suite

$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

de fonctions continues

$f_n$

définie par

$f_n(x)={\sin }^n(x)$

pour tout

$x$

entre 0 et

$\pi$

. Quand

$x\ne \frac{\pi }{2}$

,

$0\le \sin (x)<1$

et donc

$f_n(x)={\sin }^n(x)$

converge vers 0 quand

$n$

tend vers l'infini. Pour

$x=\frac{\pi }{2}$

, on a

$f_n(x)={\sin }^n(x)=1$

, qui converge vers 1 quand

$n$

tend vers l'infini. Ainsi, en posant

$f(x)=\{\begin{array}{c}1\text{ si }x=\frac{\pi }{2}\\ 0\text{ sinon}\end{array}$

, on a pour tout

$x$

entre 0 et 1,

$f_n(x)$

qui tend vers

$f(x)$

quand

$n$

tend vers l'infini. Autrement,

$f_n$

converge simplement vers

$f$

quand

$n$

tend vers l'infini.

La figure à droite montre les graphes des fonctions $f_n$(en bleu et vert) et de la fonction $f$ (en rouge). Le graphe de $f_n$ ressemble à une cloche centrée autour de $x=\frac{\pi }{2}$. On voit que, plus $n$ grandit, plus cette cloche se resserre. On notera que la convergence simple ne préserve pas la continuité : bien que les fonctions $f_n$ soient continues, la fonction limite $f$ ne l'est pas (elle admet une discontinuité au point $x=\frac{\pi }{2}$).

Convergence simple d'une suite de fonctions

Définition

Soient Modèle:Mvar un ensemble, Modèle:Mvar un espace topologique, et $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur Modèle:Mvar et à valeurs dans Modèle:Mvar.

• La suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge simplement si

pour tout $x\in X$, la suite $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge dans Modèle:Mvar.

• La suite d'applications $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge simplement vers une application $f:X\to Y$ si

pour tout $x\in X$, la suite $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers Modèle:Math.

Remarques

• L'ensemble de départ Modèle:Mvar n'est pas supposé muni d'une structure topologique.
• Si l'espace d'arrivée Modèle:Mvar est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Modèle:Mvar est toujours unique.
• Modèle:AncreSi Modèle:Mvar est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance Modèle:Mvar et de la topologie associée, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » :

Une suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de fonctions converge simplement sur Modèle:Mvar vers une fonction Modèle:Mvar si et seulement si

$\mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{N}_{\epsilon ,x}\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(n\ge N_{\epsilon ,x}\Rightarrow d(f_n(x),f(x))<\epsilon )$.

Topologie de la convergence simple

Définition

L'ensemble des applications de X dans Y est noté Modèle:Mvar. Il existe sur cet ensemble au moins une topologie pour laquelle la convergence des suites de fonctions est la convergence simple : la topologie produit, ou topologie de la convergence simple. On peut en décrire une prébase : si l'on note Modèle:Math, pour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar et tout ouvert Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, l'ensemble des applications Modèle:Mvar de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar telles que Modèle:Mvar, alors l'ensemble de tous les Modèle:Math forme une prébase de la topologie produit, c'est-à-dire que les ouverts de Modèle:Mvar sont les réunions quelconques d'intersections finies de parties de la forme Modèle:Math.

Remarques

• Si l'ensemble Modèle:Mvar est infini non dénombrable alors Modèle:Mvar (muni de la topologie de la convergence simple) n'est pas métrisable, ni même séquentiel, donc la convergence des suites de fonctions ne suffit pas à caractériser sa topologie (il faut dans ce cas faire appel aux suites généralisées).
• D'après le théorème de Tykhonov, si Modèle:Mvar est compact alors Modèle:Mvar aussi.

Propriétés

La convergence simple est un critère de convergence peu contraignant, comme son nom l'indique. Elle admet moins de propriétés que la convergence uniforme.

• La convergence uniforme entraîne clairement la convergence simple. La réciproque est -généralement- fausse, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
• La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le même graphique.
• Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme Modèle:Math avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
• Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vraie au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Voir aussi

• Théorème d'Egoroff
• Théorème de la limite simple de Baire
• Topologie faible