Analyse fractionnaire

L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration.

Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée de l'opérateur de dérivation $\mathrm{D}$

$\sqrt{\mathrm{D}}={\mathrm{D}}^{1/2}$

c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction, aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

${\mathrm{D}}^{\alpha }$

pour des valeurs réelles de Modèle:Mvar, de telle sorte que lorsque Modèle:Mvar prend une valeur entière Modèle:Mvar, on récupère la dérivation Modèle:Mvar-ième usuelle pour Modèle:Math ou l'intégration itérée Modèle:Math fois pour Modèle:Math. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : Modèle:Mvar n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et l'on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.

Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».

Dérivée fractionnaire

Les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832Modèle:,Modèle:,. La dérivée fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar d'une fonction en un point Modèle:Mvar est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.

Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point Modèle:Mvar est une propriété locale seulement lorsque l'ordre Modèle:Mvar est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction Modèle:Mvar en Modèle:Mvar ne dépend que du graphe de Modèle:Mvar au voisinage de Modèle:Mvar, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres de dérivation entiers.

Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » $T:f(x)\mapsto f(x+h)$ et l'opérateur identité $\mathrm{I}\mathrm{d}$. La limite, lorsque Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math, de l'opérateur

$\mathrm{\Delta }=\frac{T-\mathrm{I}\mathrm{d}}{h}$

correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.

Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :

${\mathrm{\Delta }}^{\alpha }=\frac{(T-\mathrm{I}\mathrm{d}{)}^{\alpha }}{h^{\alpha }}=\frac{1}{h^{\alpha }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})T^k(-\mathrm{I}\mathrm{d}{)}^{\alpha -k}$,

où $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})$ désigne le coefficient binomial généralisé $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dots (\alpha -k+1)}{k!}$.

Une telle définition induit un caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.

Approche naturelle

Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur linéaire Modèle:Math tel que

${\mathrm{H}}^{2}f=\mathrm{D}f=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f=f^{\prime }$ ?

Il apparaît qu'il existe un tel opérateur et même, pour tout Modèle:Math rationnel, il existe un opérateur Modèle:Math tel que ${\mathrm{P}}^{\alpha }=\mathrm{D}$ (plus précisément, si Modèle:Math, ${\mathrm{P}}^p={\mathrm{D}}^q$) ou, pour le formuler autrement, que $\frac{{\mathrm{d}}^{n}f}{\mathrm{d}{x}^n}$ est défini pour toutes valeurs réelles Modèle:Math.

Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction Modèle:Mvar définie pour Modèle:Math, on peut former son intégrale définie de 0 à Modèle:Mvar :

$(\mathrm{I}f)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

En répétant ce processus, on obtient

$({\mathrm{I}}^{2}f)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(\mathrm{I}f)(t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(u)\mathrm{d}u)\mathrm{d}t$,

et ceci peut être répété arbitrairement.

La formule suivante, appelée formule de Cauchy pour l'intégration successive,

$({\mathrm{I}}^{n}f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t$

exprime par une seule intégrale une primitive Modèle:Mvar-ième d'une fonction Modèle:Mvar. Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel Modèle:Math et même, pour tout nombre complexe de partie réelle strictement positive.

La fonction gamma Modèle:Math, qui étend la factorielle aux valeurs complexes, est définie de telle sorte que :

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$.

En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, on obtient un candidat naturel pour les puissances non entières de l'opérateur d'intégration :

La famille d'opérateurs intégraux $({\mathrm{I}}^{\alpha })$ vérifie :

${\mathrm{I}}^{\alpha }\circ {\mathrm{I}}^{\beta }={\mathrm{I}}^{\alpha +\beta }$ (donc ${\mathrm{I}}^{\alpha }\circ {\mathrm{I}}^{\beta }={\mathrm{I}}^{\beta }\circ {\mathrm{I}}^{\alpha }$).

Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation Modèle:Math est considérablement plus compliqué. La famille $({\mathrm{D}}^{\alpha })$ n'est ni additive (on n'a pas en général ${\mathrm{D}}^{\alpha }\circ {\mathrm{D}}^{\beta }={\mathrm{D}}^{\alpha +\beta }$), ni même commutative (${\mathrm{D}}^{\alpha }\circ {\mathrm{D}}^{\beta }\ne {\mathrm{D}}^{\beta }\circ {\mathrm{D}}^{\alpha }$).

Une définition élémentaire

L'idée la plus simple est de partir de formules « régulières » pour la dérivée Modèle:Mvar-ième et de remplacer Modèle:Mvar par le réel Modèle:Mvar ; on obtient ainsi pour l'exponentielle ${\mathrm{D}}^{\alpha }({\mathrm{e}}^{\lambda x})={\lambda }^{\alpha }{\mathrm{e}}^{\lambda x}$ et pour la fonction sinus : $({\mathrm{D}}^{\alpha }\sin )(x)=\sin (x+\frac{\alpha \pi }{2}).$ La même idée pour les fonctions puissances oblige comme précédemment à introduire la fonction gamma : puisque $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{x}^k=\frac{k!}{(k-n)!}{x}^{k-n}$, on aura ${\mathrm{D}}^{\alpha }(x^k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k+1-\alpha )}{x}^{k-\alpha }$. Pour ces formules, on a bien l'additivité (${\mathrm{D}}^{\alpha }\circ {\mathrm{D}}^{\beta }={\mathrm{D}}^{\alpha +\beta }$), qui permet d'obtenir, par exemple, une « racine carrée » de la dérivation en prenant Modèle:Math.

Mais cette approche élémentaire, non seulement n'est pas généralisable, mais contredit les définitions plus générales construites à partir d'opérateurs intégraux.

Définitions générales des dérivées fractionnaires

Dérivées fractionnaires d'une fonction gaussienne, interpolant entre la fonction et sa dérivée usuelle.

Dérivée de Riemann-Liouville

Modèle:Voir L'idée, pour définir une dérivée d'ordre $\alpha \in ℂ$ avec Modèle:Math, est ici de calculer la dérivée Modèle:Mvar-ième usuelle de l'intégrale fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar, pour Modèle:Math. Deux variantes de la définition existent :

${\mathrm{D}}_{a+}^{\alpha }f(x)=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{D}}_{a+}^{-(n-\alpha )}f(x)=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{I}}_{a+}^{n-\alpha }f(x)$ (pour $x>a$) ;

${\mathrm{D}}_{b-}^{\alpha }f(x)={(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})}^n{\mathrm{D}}_{b-}^{-(n-\alpha )}f(x)={(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})}^n{\mathrm{I}}_{b-}^{n-\alpha }f(x)$ (pour $x<b$)Modèle:Sfn.

Les familles d'opérateurs d'intégration $({\mathrm{I}}_{a+}^{\alpha })$ et $({\mathrm{I}}_{b-}^{\alpha })$ (avec Modèle:Math) utilisées ici généralisent la famille $({\mathrm{I}}^{\alpha })=({\mathrm{I}}_{0+}^{\alpha })$ définie [[#Approche naturelle|ci-dessus pour Modèle:Math]] :

$({\mathrm{I}}_{a+}^{\alpha })f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t(x>a)$ ;

$({\mathrm{I}}_{b-}^{\alpha })f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{x}{\overset{b}{\int }}(t-x{)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t(x<b)$Modèle:Sfn.

Dérivée de Liouville-Weyl

Une variante naturelle de la dérivée de Riemann-Liouville, pour une fonction définie sur $ℝ$ tout entier, consiste à prendre $a=-\mathrm{\infty }$ et $b=+\mathrm{\infty }$, donc à poser, pour tout $x\in ℝ$ :

$({\mathrm{I}}_{+}^{\alpha })f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t$,

$({\mathrm{I}}_{-}^{\alpha })f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(t-x{)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t$

puis, comme précédemment,

${\mathrm{D}}_{+}^{\alpha }=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\circ {\mathrm{I}}_{+}^{n-\alpha }$ et ${\mathrm{D}}_{-}^{\alpha }={(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})}^n\circ {\mathrm{I}}_{-}^{n-\alpha }$Modèle:SfnModèle:,.

Dérivée de Caputo

En 1967, Michele Caputo introduisit une nouvelle définition ne nécessitant pas de conditions aux bornes. La définition de Caputo diffère de celle de Riemann-Liouville en ce qu'elle effectue la dérivation Modèle:Mvar fois avant l'intégrale fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar :

${}^C{\mathrm{D}}^{\alpha }f={\mathrm{I}}^{n-\alpha }\left(f^{(n)}\right)(n-1<\alpha <n)$.

Elle a l'avantage d'être nulle pour Modèle:Mvar constante et d'avoir une transformée de Laplace exprimée à l'aide de celle de Modèle:Mvar et des valeurs initiales de Modèle:Math pour Modèle:Math.

Plus généralementModèle:Sfn, pour Modèle:Mvar complexe non entier tel que Modèle:Math et pour Modèle:Mvar de [[Classe de régularité|classe Modèle:Math]] sur Modèle:Math avec Modèle:Math, on définit

${}^C{\mathrm{D}}_{a+}^{\alpha }f={\mathrm{D}}_{a+}^{\alpha }[f(t)-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{y^{(k)}(a)}{k!}(t-a{)}^k]\text{et}{}^C{\mathrm{D}}_{b-}^{\alpha }f={\mathrm{D}}_{b-}^{\alpha }[f(t)-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{y^{(k)}(b)}{k!}(b-t{)}^k]$,

et l'on démontre que

${}^C{\mathrm{D}}_{a+}^{\alpha }f={\mathrm{I}}_{a+}^{n-\alpha }\left(f^{(n)}\right)\text{et}{}^C{\mathrm{D}}_{b-}^{\alpha }f=(-1{)}^n{\mathrm{I}}_{b-}^{n-\alpha }\left(f^{(n)}\right)$.

Dérivée de Grünwald-Letnikov

Modèle:Voir On généralise d'abord la différence finie arrière d'ordre entier en posant, pour Modèle:Math :

${\mathrm{\Delta }}_h^{\alpha }f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})f(x+(\alpha -k)h)$,

puis

${}^{GL}{\mathrm{D}}_{+}^{\alpha }f(x)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^{\alpha }f(x)}{h^{\alpha }}\text{et}{}^{GL}{\mathrm{D}}_{-}^{\alpha }f(x)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_{-h}^{\alpha }f(x)}{h^{\alpha }}$Modèle:Sfn.

Applications

Ce champ des mathématiques trouve une application pratique en automatique via la commande CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier).

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Opérateur différentiel
• Système d'ordre fractionnaire
• Théorème de Hille-Yosida
• Fonction de Mittag-Leffler

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld
• Modèle:Lien web

Ouvrages

• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Ouvrage

Journaux spécialisés

• Fractional Calculus and Applied Analysis (FCAA) (journal de l'Institut de mathématiques de l'Académie bulgare des sciences)
• Fractional Differential Calculus (FDC)
• Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Progress in Fractional Differentiation and Applications (PFDA)