Constante d'Apéry

Approximation de la constante d'Apéry (ligne bleue) par les sommes partielles de la série des Modèle:Math (ligne rouge).

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en Modèle:Math de la fonction zêta de Riemann :

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\approx 1,202$.

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.

On n'en connaît pas de forme fermée.

Décimales connues

Cette constante était connue avec Modèle:Unité en 1998, 1 000 000 000 en 2003 et jusqu'à Modèle:Unité en 2015.

Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

• dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
• en théorie des graphes ;
• en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
• en théorie des nombres : pour tout entier Modèle:Math, la probabilité pour que Modèle:Mvar entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à Modèle:Math (cf. [[Fonction zêta de Riemann#Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens|§ « Représentation de Modèle:Math et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »]]), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, Modèle:Math.

Irrationalité

Modèle:Article détaillé Le nombre Modèle:Math est irrationnel.

On ne sait pas s'il est transcendant.

Par comparaison, pour tout entier Modèle:Math, le nombre [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|Modèle:Math]] est transcendant car commensurable à Modèle:Math (par exemple : [[Problème de Bâle|Modèle:Math]]).

Notons que l'on conjecture que le nombre $\zeta (3)/{\pi }^3$ est irrationnel, voir la Modèle:OEIS.

Représentations par des séries

Séries classiques

$\zeta (3)=$Modèle:, $-\frac{4{\pi }^2}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}$ (avec $\zeta (2k)=(-1{)}^{k+1}\frac{(2\pi {)}^{2k}{B}_{2k}}{2(2k)!}$, où les $B_{2k}$ sont les nombres de Bernoulli).

$\zeta (3)=$ $\frac{8}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^3}=\frac{8}{7}\lambda (3)$, où Modèle:Mvar est la fonction lambda de Dirichlet.

$\zeta (3)=$ $\frac{4}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1{)}^3}=\frac{4}{3}\eta (3)$, où Modèle:Mvar est la fonction êta de Dirichlet.

$\zeta (3)=$Modèle:, $\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n-1}}{n^2}$, où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar-ième nombre harmonique.

$\zeta (3)=$ $8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{H}_{n-1}}{n^2}$.

Convergence rapide

Il est à noter que contrairement aux autres formules de ce paragraphe, la première a été déterminée dès le Modèle:S-, en 1830, et ce par Clausen :

$\zeta (3)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{2^{4n}(2n+1{)}^2}-\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n})(n+1{)}^3}$.

$\zeta (3)=$ $\frac{5}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})n^3}$.

$\zeta (3)=$ $\frac{1}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(56n^2-32n+5)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})n^3(2n-1{)}^2}$.

$\zeta (3)=$ $\frac{1}{64}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n{!}^{10}}{(2n+1){!}^5}(205n^2+250n+77)$.

$\zeta (3)=$ $\frac{1}{24}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{[(2n+1)!(2n)!n!]}^3}{(4n+3){!}^3(3n+2)!}(126392n^5+412708n^4+531578n^3+336367n^2+104000n+12463)$.

Autres

Les Cahiers de Ramanujan ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes :

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3({\mathrm{e}}^{2\pi n}-1)}$ ;

$\zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3\sinh (\pi n)}-\frac{11}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3({\mathrm{e}}^{2\pi n}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3({\mathrm{e}}^{2\pi n}+1)}$.

Srivastava a collecté de nombreuses séries qui convergent vers Modèle:Math.

Représentations par des intégrales

Formules simples

La première est issue de la définition de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math]] par une série et, les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-xyz}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ ;

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x$.

Modèle:Refsou :

$\zeta (3)=\frac{4}{7}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\ln (\sec x+\tan x)\mathrm{d}x$.

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan Modèle:Math :

$\mathrm{K}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\sec x+\tan x)\mathrm{d}x$.

Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe $\ln (1-z)$ :

$\zeta (3)=\frac{8}{7}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\ln \tan x\mathrm{d}x$

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

$\mathrm{K}=-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \tan x\mathrm{d}x$

Formules plus compliquées

$\zeta (3)=$ $\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (2\arctan x)}{(x^2+1){\cosh }^2\frac{\pi x}{2}}\mathrm{d}x$.

$\zeta (3)=$ $-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (xy)}{1-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1-xy)}{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

$\zeta (3)=$ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x\ln (1-x)}{x}\mathrm{d}x$.

$\zeta (3)=$ $\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\ln \ln \frac{1}{x}}{(1+x^2{)}^4}\mathrm{d}x=\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\ln \ln x}{(1+x^2{)}^4}\mathrm{d}x$.

$\zeta (3)=$ $-\frac{1}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{‴}(1)+\frac{3}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){\mathrm{\Gamma }}^{″}(1)-({\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){)}^3=-\frac{1}{2}{\psi }_2(1)$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma, de ses dérivées, et de la fonction digamma.

Voir aussi

Articles connexes

• Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
• Nombres premiers issus de troncature de cette constante

Bibliographie

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