Formulation faible

Modèle:Ébauche En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles.

Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible.

L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev.

Il est possible de prouver que certaines formulations faibles sont bien posées à l'aide du théorème de Lax-Milgram. La méthode des éléments finis est quant à elle une façon d'approcher numériquement des solutions faibles.

Une formulation faible des équations aux dérivées partielles qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert est une formulation variationnelle. À l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine.

Formellement

Étant donné un opérateur différentiel Modèle:Mvar et une fonction Modèle:Mvar définie sur un ouvert Modèle:Math, la formulation forte du problème est la suivante :

Une solution Modèle:Mvar est naturellement solution du problème suivant (formulation faible) :

Selon la nature du problème, des transformations équivalentes de cette dernière égalité (par exemple une intégration par parties) permettent de faire apparaître une forme symétrique ayant la nature d’un produit scalaire (ou d’un produit hermitien dans le cas de fonctions complexes). Les deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar appartiennent alors à un même espace fonctionnel. Dans ce cas, la formulation faible stipule que la solution Modèle:Mvar est une sorte de projection de Modèle:Mvar dans cet espace. C’est à ce stade du développement qu’intervient le théorème de Lax-Milgram.

D’autres contraintes sur la frontière de Modèle:Math (conditions aux limites) peuvent être imposées à Modèle:Mvar (et à Modèle:Mvar).

Exemple

Dans le cadre d’un problème concret, le passage d’une formulation forte à faible est présenté dans le § « Cas organique » de l'article sur la méthode des éléments finis.

Équation de Poisson

Pour un ouvert Modèle:Math de ${ℝ}^n$, considérons l’[[Espace L2|espace Modèle:Math]] des fonctions de carré intégrable et l’espace de Sobolev Modèle:Math des fonctions dont les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k sont dans Modèle:Math.

Étant donné une fonction $f\in L^2(\mathrm{\Omega })$, on cherche une solution du problème suivant (formulation forte) :

$\{\begin{array}{c}u\in H^2(\mathrm{\Omega })\\ -\mathrm{\Delta }u=f\text{ dans }\mathrm{\Omega }\\ u=0\text{ sur }\partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

La formulation faible correspondante est la suivante :

$\{\begin{array}{c}u\in H^1(\mathrm{\Omega })\\ A(u,v)=F(v)\mathrm{\forall }v\in H^1(\mathrm{\Omega })\mid v=0\text{ sur }\partial \mathrm{\Omega }\\ u=0\text{ sur }\partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

où $A(u,v)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v$ et $F(v)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fv.$

Le théorème de Lax-Milgram permet ensuite de conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution de la formulation faible.

À noter qu'une solution du premier problème est toujours solution du second, alors que la réciproque n'est pas vraie (une solution dans Modèle:Math peut ne pas être assez régulière pour être dans Modèle:Math) : c'est d'ailleurs pour cette raison qu'une solution de la formulation variationnelle est parfois appelée solution faible (ou encore semi-faible).

Avec des conditions de bord plus générales que celles présentées ici, ce problème est plus amplement développé dans le § « Formulation faible et solution » de l'article sur l'équation de Poisson.

Lien externe

Modèle:Lien web. Voir en particulier le théorème 4.2.1 (Modèle:P.) d'intégration par parties pour deux fonctions appartenant à des espaces de Sobolev d'un ouvert faiblement lipschitzien.