Cercle de Van Lamoen

Le cercle de Van Lamoen passe par les centres de six cercles circonscrits $A_b$, $A_c$, $B_c$, $B_a$, $C_a$, $C_b$

En géométrie plane euclidienne, le cercle de Van Lamoen d'un triangle $\mathrm{T}$ est le cercle qui contient les centres des cercles circonscrits des six triangles définis à l'intérieur de $\mathrm{T}$ par ses trois médianesModèle:,.

Plus précisément, pour les trois sommets $A$, $B$, $C$ d'un triangle $\mathrm{T}$, on note $G$ son centre de gravité (l'intersection de ses trois médianes). Soient $M_a$, $M_b$, et $M_c$ les milieux des côtés $BC$, $CA$, et $AB$, respectivement. Il apparait alors que les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs $AG{M}_c$, $BG{M}_c$, $BG{M}_a$, $CG{M}_a$, $CG{M}_b$, et $AG{M}_b$ se situent sur un cercle commun, qui est le cercle de Van Lamoen de $\mathrm{T}$.

Histoire

Le cercle de Van Lamoen porte le nom du mathématicien Modèle:Lien qui l'a posé comme problème en 2000Modèle:,. Une preuve a été fournie en 2001, et les éditeurs de lModèle:'Modèle:Lang en 2002Modèle:,.

Propriétés

Le centre du cercle de Van Lamoen est le point $X(1153)$ dans la liste complète des centres du triangle de Clark Kimberling.

En 2003, il a été mis en évidence que la réciproque du théorème est presque vraie, dans le sens où, pour un point $P$ quelconque à l'intérieur du triangle $\mathrm{T}$, et $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, et $C{C}^{\prime }$ les céviennes passant par $P$, c'est-à-dire les segments de droite qui relient chaque sommet à $P$ et sont étendus jusqu'à ce que chacun rencontre le côté opposé. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles $AP{B}^{\prime }$, $AP{C}^{\prime }$, $BP{C}^{\prime }$, $BP{A}^{\prime }$, $CP{A}^{\prime }$, et $CP{B}^{\prime }$ sont cocyliques si et seulement si $P$ est le centre de gravité de $\mathrm{T}$ (ce qui donne le cercle de Van Lamoen) ou son orthocentre (l'intersection de ses trois hauteurs, cas du cercle d'Euler). Une preuve plus simple de ce résultat a été donnée en 2005.

Généralisation

Dans le cas d'un point quelconque du plan, Kimberling avait remarqué que les six centres des cercles circonscrits étaient tous sur une même conique.

Une extension du théorème de van Lamoen est donné par Myakishev :

On considère deux triangles $ABC$ et $A_1{B}_1{C}_1$, deux triangles homologiques de centre d'homologie $M$ et de même centre de gravité $G$. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs $AM{B}_1$, $B_{1}MC$, $CM{A}_1$, $A_{1}MB$, $BM{C}_1$, et $C_{1}MA$ se situent sur un cercle communModèle:,.

Le théorème de van Lamoen correspond au cas particulier où $A_1{B}_1{C}_1$ est le triangle médian de $ABC$.

Voir également

• Cercle de Parry
• Cercle de Lester

Références

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