Cosinus hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction Modèle:Math.

Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique, notée Modèle:Math (ou Modèle:Math),

$\mathrm{arcosh}:[1,+\mathrm{\infty }[\to ℝ+$

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

$y=\mathrm{arcosh}x⟺x=\cosh y\text{ et }y\ge 0$.

Propriétés

Cette fonction est injective et son image est ${ℝ}_{+}$. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en Modèle:Math est Modèle:Math et sa [[Limite (mathématiques élémentaires)#Cas où la limite de f est +∞ quand x tend vers +∞|limite en Modèle:Math est Modèle:Math]].

Elle est dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée est donnée par :

$\mathrm{\forall }x>1{\mathrm{arcosh}}^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.

On en déduit la primitive de Modèle:Math qui s'annule en Modèle:Math :

$\mathrm{\forall }x\ge 1\underset{1}{\overset{x}{\int }}\mathrm{arcosh}u\mathrm{d}u=x\mathrm{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}$.

La composée de Modèle:Math par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

$\mathrm{\forall }x\ge 1\sinh (\mathrm{arcosh}x)=\sqrt{x^2-1}$.

Par conséquent :

• la fonction Modèle:Math s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

  $\mathrm{\forall }x\ge 1\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ ;

• la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

  $\mathrm{\forall }u\ge v\ge 1\mathrm{arcosh}u\pm \mathrm{arcosh}v=\mathrm{arcosh}(uv\pm \sqrt{(u^2-1)(v^2-1)})$.