Filtration de Moy-Prasad

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la filtration de Moy-Prasad est un ensemble de filtrations d'un groupe réductif p-adique donné et de son algèbre de Lie, définie par Allen Moy et Gopal Prasad. La famille est paramétrée par l'immeuble de Bruhat-Tits ; chaque point de l'immeuble donne une filtration différente. Autrement dit, puisque le terme initial de chaque filtration en un point du bâtiment est le sous-groupe parahorique en ce point, la filtration de Moy-Prasad peut être considérée comme une filtration d'un sous-groupe parahorique d'un groupe réductif.

La principale application de la filtration de Moy-Prasad est la théorie des représentations des groupes p-adiques. On définit grâce à la filtration la profondeur, un nombre rationnel, d'une représentation. Les représentations de la profondeur r peuvent être comprises en étudiant les r-ième sous-groupes de Moy-Prasad. Ces informations conduisent ensuite à une meilleure compréhension de la structure globale des représentations, et par conséquent de la théorie des nombres via le programme de Langlands.

Pour une exposition détaillée des filtrations de Moy-Prasad et des points semi-stables associés, voir le chapitre 13 du livre Bruhat-Tits theory: a new approach de Tasho Kaletha et Gopal Prasad.

Historique

Dans leurs travaux fondateurs sur la théorie des immeubles, François Bruhat et Jacques Tits ont défini des sous-groupes associés aux fonctions concaves du système de racinesModèle:Sfn. Ces sous-groupes sont un cas particulier des sous-groupes de Moy-Prasad, définis lorsque le groupe est scindé. Moy et PrasadModèle:Sfn ont alors généralisé la construction de Bruhat-Tits aux groupes quasi-scindés, en particulier aux tores, et d'utiliser ces sous-groupes pour étudier la théorie des représentations du groupe ambiant.

Exemples

L'algèbre de Lie de ${\mathbb{Q}}_p^{\times }$ est ${\mathbb{Q}}_p$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les idéaux non nuls de ${\mathbb{Z}}_p$ :

Groupe multiplicatif

Un autre exemple de groupe réductif p-adique est le groupe général linéaire ${\text{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p)$ ; cet exemple généralise le précédent car ${\text{GL}}_1({\mathbb{Q}}_p)={\mathbb{Q}}_p^{\times }$. Comme ${\text{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p)$ est non-abélien (pour $n\ge 2$ ), il comporte une infinité de sous-groupes parahoriques. Un sous-groupe parahorique particulier est ${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p)$. Les sous-groupes de Moy-Prasad de ${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p)$ sont les sous-groupes d'éléments congrus à l'identité modulo certaines puissances de $p$. Plus précisément, lorsque $r$ est un entier positif que nous définissons$$({\mathbb{Z}}_p^{\times }{)}_r=1+(p{\mathbb{Z}}_p{)}^r=\{u\in {\mathbb{Z}}_p^{\times }:u\equiv 1mod{p}^r\}.$$Les exemples suivants utilisent les nombres p-adiques ${\mathbb{Q}}_p$ et les entiers p-adiques ${\mathbb{Z}}_p$. Un lecteur peu familier avec ces anneaux pourra plutôt remplacer ${\mathbb{Q}}_p$ par les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ et ${\mathbb{Z}}_p$ par les entiers $\mathbb{Z}$ sans perdre l'idée principale.$$({\mathbb{Z}}_p{)}_r=(p{\mathbb{Z}}_p{)}^r=\{p^{r}a:a\in {\mathbb{Z}}_p\}.$$Plus généralement, si $r$ est un nombre réel positif, on se ramène au cas entier :$$({\mathbb{Z}}_p^{\times }{)}_r:=({\mathbb{Z}}_p^{\times }{)}_{\lfloor r\rfloor },({\mathbb{Z}}_p{)}_r:=({\mathbb{Z}}_p{)}_{\lfloor r\rfloor }$$Cet exemple illustre le phénomène général selon lequel, bien que la filtration de Moy-Prasad soit indexée par les réels positifs, la filtration s'altère uniquement sur un sous-ensemble discret et périodique (ci dessus, les entiers naturels).

Groupe linéaire général

où ${\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p)$ est l'algèbre des matrices n × n à coefficients dans ${\mathbb{Z}}_p$. L'algèbre de Lie de ${\text{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p)$ est ${\text{M}}_n({\mathbb{Q}}_p)$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les espaces de matrices égales à la matrice nulle modulo certaines puissances de $p$ ; quand $r$ est un entier positif que nous définissons$${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_r=1+(p{\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p){)}^r=\{u\in {\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p):u\equiv 1mod{p}^r\}.$$Dans cet exemple, la filtration de Moy-Prasad sont communément notés ${\text{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p{)}_{x,r}$ au lieu de ${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_r$, où $x$ est un point de la construction de ${\text{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p)$ dont le sous-groupe parahorique correspondant est ${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p).$$${\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_r=(p{\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p){)}^r=\{u\in {\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p):u\equiv 0mod{p}^r\}.$$Enfin, comme précédemment, si $r$ est un nombre réel positif, on pose :$${\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_r:={\text{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_{\lfloor r\rfloor },{\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_r:={\text{M}}_n({\mathbb{Z}}_p{)}_{\lfloor r\rfloor }$$Soit $G$ un $k$-groupe réductif, $r\ge 0$, et $x$ un point de l'immeuble de Bruhat-Tits de $G$. Le $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de $G(k)$ en $x$ est noté $G(k{)}_{x,r}$. De même, la $r$-ème sous-algèbre de Moy-Prasad Lie de $𝔤$ en $x$ est noté ${𝔤}_{x,r}$ ; c'est un ${𝒪}_k$-module libre, et même un réseau. (En fait, l'algèbre de Lie ${𝔤}_{x,r}$ peut également être définie lorsque $r<0$, bien que le groupe $G(k{)}_{x,r}$ ne puisse pas l'être.)

Propriétés

Bien que la filtration de Moy-Prasad soit couramment utilisée pour étudier la théorie des représentations des groupes p-adiques, on peut construire des sous-groupes de Moy-Prasad sur n'importe quel corps hensélien de valuation discrète $k$, et pas seulement sur un corps local non archimédien. Dans cette section et les suivantes, nous supposerons donc que le corps de base $k$ est hensélien de valuation discrète et ${𝒪}_k$ son anneau d'entiers. Néanmoins, le lecteur est invité à supposer, par souci de simplicité, que $k={\mathbb{Q}}_p$, de sorte que ${𝒪}_k={\mathbb{Z}}_p$.

Une propriété fondamentale de la filtration de Moy-Prasad est qu'elle est décroissante : si $r\le s$ alors ${𝔤}_{x,r}\supseteq {𝔤}_{x,s}$ et $G(k{)}_{x,r}\supseteq G(k{)}_{x,s}$. On définit :

Sous certaines hypothèses techniques sur $G$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Par la propriété du sous-groupe du commutateur, le quotient $G(k{)}_{x,r:s}$ est abélien si $r\le s\le 2r$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${𝔤}_{x,r:s}\cong G(k{)}_{x,r:s}$, appelé isomorphisme Moy-Prasad . L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme Moy-Prasad existe est que $G$ être apprivoisé, c'est-à-dire que $G$ se divise sur une extension docilement ramifiée du champ de base $k$. Si cette hypothèse est violée alors ${𝔤}_{x,r:s}$ et $G(k{)}_{x,r:s}$ ne sont pas nécessairement isomorphes. Modèle:Sfn$$G(k{)}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k{)}_{x,s},{𝔤}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{𝔤}_{x,s}.$$Cette convention n'est qu'un raccourci de notation car pour tout $r$, il existe $\epsilon >0$ tel que ${𝔤}_{x,r+}={𝔤}_{x,r+\epsilon }$ et $G(k{)}_{x,r+}=G(k{)}_{x,r+\epsilon }$.

La filtration de Moy-Prasad satisfait aux propriétés supplémentaires suivantesModèle:Sfn.

• Un saut dans la filtration de Moy-Prasad est défini par un indice $r$ tel que $G(k{)}_{x,r+}\ne G(k{)}_{x,r}$. L'ensemble des sauts est discret et dénombrable.
• Si $r\le s$, alors $G(k{)}_{x,s}$ est un sous-groupe normal de $G(k{)}_{x,r}$ et ${𝔤}_{x,s}$ est un idéal de ${𝔤}_{x,r}$. On note parfois le groupe quotient $G(k{)}_{x,r:s}:=G(k{)}_{x,r}/G(k{)}_{x,s}$ et l'algèbre quotient ${𝔤}_{x,r:s}:={𝔤}_{x,r}/{𝔤}_{x,s}$.
• Le quotient $G(k{)}_{x,0:0+}$ est un groupe réductif sur le corps résiduel de ${𝒪}_k$, à savoir le quotient réductif maximal de la fibre spécial du ${𝒪}_k$-groupe donné par le parahorique $G(k{)}_{x,0}$. En particulier, si $k$ est un corps local non-archimédien (e.g. ${\mathbb{Q}}_p$) alors ce quotient est un groupe fini de type Lie.
• $[G(k{)}_{x,r},G(k{)}_{x,s}]\subseteq G(k{)}_{x,r+s}$ et $[{𝔤}_{x,r},{𝔤}_{x,s}]\subseteq {𝔤}_{x,r+s}$; ici le premier crochet est le commutateur et le second le crochet de Lie.
• Pour tout automorphisme $\theta$ de $G$ on a $\theta (G(k{)}_{x,r})=G(k{)}_{\theta (x),r}$ et $\text{d}\theta ({𝔤}_{x,r})={𝔤}_{\theta (x),r}$, où $\text{d}\theta$ est la dérivée de $\theta$.
• Pour tout uniformisante $\varpi$ de $k$ on a $\varpi {𝔤}_{x,r}={𝔤}_{x,r+1}$.

Sous certaines hypothèses techniques sur $G$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Le quotient $G(k{)}_{x,r:s}$ est abélien si $r\le s\le 2r$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${𝔤}_{x,r:s}\cong G(k{)}_{x,r:s}$, dit isomorphisme Moy-Prasad. L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme de Moy-Prasad existe est que $G$ soit modéré, c'est-à-dire que $G$ se scinde sur une extension modérément ramifiée du corps de base $k$. Sans cette hypothèse, ${𝔤}_{x,r:s}$ et $G(k{)}_{x,r:s}$ ne sont pas nécessairement isomorphesModèle:Sfn.

Profondeur d'une représentation

La filtration de Moy-Prasad peut être utilisée pour définir un invariant numérique important d'une représentation lisse $(\pi ,V)$ de $G(k)$, la profondeur de la représentation : c'est le plus petit nombre $r$ tel qu'il existe $x$ dans l'immeuble de $G$, et un vecteur non nul de $V$ qui est fixé par $G(k{)}_{x,r+}$.

À la suite de l'article définissant leur filtration, Moy et Prasad ont prouvé un théorème de structure pour les représentations supercuspidales de profondeur nulleModèle:Sfn. Soit $x$ un point dans une face minimale de la construction de $G$ ; c'est-à-dire que le sous-groupe parahorique $G(k{)}_{x,0}$ est parahorique maximal. Le quotient $G(k{)}_{x,0:0+}$ est un groupe fini de type de Lie. Soit $\tau$ être l'induction à $G(k{)}_{x,0}$ d'une représentation cuspidale au sens de Harish-Chandra (voir aussi Théorie de Deligne-Lusztig) de ce quotient. Le groupe parahorique $G(k{)}_{x,0}$ est un sous-groupe normal d'indice fini du stabilisateur $G(k{)}_x$ de $x$ dans $G(k)$. Soit $\rho$ être une représentation irréductible de $G(k{)}_x$ dont la restriction à $G(k{)}_{x,0}$ contient $\tau$ comme sous-représentation. Alors l’induction compacte de $\rho$ à $G(k)$ est une représentation supercuspidale de profondeur nulle. De plus, chaque représentation supercuspidale de profondeur nulle est isomorphe à l’une de cette forme.

Dans le cas modéré, la correspondance de Langlands locale devrait préserver la profondeur, où la profondeur d'un paramètre L est définie en utilisant la filtration (en indice supérieur) sur le groupe de WeilModèle:Sfn.

Construction

Même si nous avons défini $x$ comme étant dans l'immeuble étendu de $G$, il s'avère que le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k{)}_{x,r}$ ne dépend que de l'image de $x$ dans l'immeuble réduit.

La description suivante de la construction fait suite à l'article de Yu sur les modèles lissesModèle:Sfn.

Tores

Puisque les tores algébriques constituent une classe particulière de groupes réductifs, la théorie de la filtration de Moy-Prasad s'applique à eux. Il s’avère que la construction des sous-groupes de Moy-Prasad pour un groupe réductif général repose sur la construction de tores. Nous commençons donc par discuter du cas où $G=T$ est un tore. Puisque l'immeuble réduit d'un tore est un point, il n’y a qu'un seul choix pour $x$, et donc nous écrirons $T(k{)}_r:=T(k{)}_{x,r}$.

D'abord, considérons le cas particulier où $T$ est la restriction de Weil de ${𝔾}_{\text{m}}$ le long d'une extension finie séparable $\ell$ de $k$, de sorte que $T(k)={\ell }^{\times }$. Dans ce cas, nous définissons $T(k{)}_r$ comme l'ensemble des $a\in {\ell }^{\times }$ tels que${\text{val}}_k(x-1)\ge r$, où ${\text{val}}_k:\ell \to ℝ$ est l’unique extension de la valorisation de $k$ à $\ell$.

Un tore est dit induit s’il est le produit direct d’un nombre fini de tores de la forme considérée au paragraphe précédent. Le $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad d’un tore induit est défini comme le produit du $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ces facteurs.

Deuxièmement, considérons le cas où $r=0$ mais $T$ est un tore arbitraire. Ici le sous-groupe de Moy-Prasad $T(k{)}_0$ est défini comme les points entiers du modèle de Néron de $T$Modèle:Sfn. Cette définition coïncide avec celle donnée précédemment lorsque $T$ est un tore induit.

Il s’avère que tout tore peut être inclus dans un tore induit. Pour définir les sous-groupes de Moy-Prasad d'un tore général $T$, nous choisissons un plongement de $T$ dans un tore induit $S$ et poser $T(k{)}_r:=T(k{)}_0\cap S(k{)}_r$. Cette construction est indépendante du choix du tore induit et du plongement.

Groupes réductifs

Par souci de simplicité, nous décrirons d’abord la construction du sous-groupe de Moy-Prasad $G(k{)}_{x,r}$ dans le cas où $G$ est scindé. Ensuite, nous commenterons la définition générale.

Soit $T$ un tore scindé maximal de $G$ dont l'appartement contient $x$, et $\mathrm{\Phi }$ le système racine de $G$ par rapport à $T$.

Pour chaque $\alpha \in \mathrm{\Phi }$, soit $U_{\alpha }$ le sous-groupe de racines de $G$ par rapport à $\alpha$. En tant que groupe abstrait $U_{\alpha }$ est isomorphe à ${𝔾}_{\text{a}}$, de façon non-canonique. Le point $x$ détermine, pour chaque racine $\alpha$, une valuation additive $v_{\alpha ,x}:U_{\alpha }(k)\to ℝ$. Nous définissons $U_{\alpha }(k{)}_{x,r}:=\{u\in U_{\alpha }(k):v_{\alpha ,x}(u)\ge r\}$.

Enfin, le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k{)}_{x,r}$ est défini comme le sous-groupe de $G(k)$ générés par les sous-groupes $U_{\alpha }(k{)}_{x,r}$ pour $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ et le sous-groupe $T(k{)}_r$.

Si $G$ n'est pas scindé, alors le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k{)}_{x,r}$ est défini par une descendance non ramifiée du cas quasi-scindé, une astuce standard dans la théorie de Bruhat-Tits. Plus précisément, on généralise d’abord la définition des sous-groupes Moy-Prasad donnée ci-dessus au cas où $G$ n'est que quasi-divisé, à l'aide du système de racines relatif. À partir de là, le sous-groupe de Moy-Prasad peut être défini en passant à l'extension non ramifiée maximale $k^{\text{nr}}$ de $k$, un corps sur lequel tout groupe réductif, et en particulier $G$, est quasi-scindé. On descent à $k$ en prenant les points fixes de ce groupe de Moy-Prasad sous le groupe de Galois de $k^{\text{nr}}$ sur $k$.

Algèbres de Lie

Soit $𝔤$ l'algèbre de Lie de $G$. Dans une procédure similaire à celle des groupes réductifs, à savoir en définissant les filtrations de Moy-Prasad sur l'algèbre de Lie d'un tore et l'algèbre de Lie d'un groupe de racine, on peut définir les algèbres de Lie de Moy-Prasad ${𝔤}_{x,r}$ de $𝔤$ ; ce sont des ${𝒪}_k$-réseaux du $k$-espace vectoriel $𝔤$. Quand $r\ge 0$, il se trouve que ${𝔤}_{x,r}$ est juste l'algèbre de Lie du ${𝒪}_k$-schéma en groupe $G_{x,r}$.

Ensemble d'indices

Nous avons défini la filtration de Moy-Prasad au point $x$ indicé par l'ensemble $ℝ$ de nombres réels. Il est courantt d'étendre légèrement l'ensemble d'indexation, à l'ensemble $\widetilde{ℝ}$ composé de $ℝ$ et symboles formels $r+$ avec $r\in ℝ$. L'élément $r+$ est considéré comme étant infinitésimalement plus grand que $r$, et la filtration est étendue à ce cas en définissant $G(k{)}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k{)}_{x,s}$.

Références

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