Inégalité de Minkowski

En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l'inégalité triangulaire pour la norme des [[espace Lp|espaces Modèle:Math]] pour Modèle:Math, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne en particulier la norme des [[Espace de suites ℓp|espaces de suites ℓModèle:Exp]].

Énoncé

Soient $(X,𝒜,\mu )$ un espace mesuré, $p\in [1,+\mathrm{\infty }[$ et deux fonctions $f,g\in L^p(X)$. Alors

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p,$

c'est-à-dire

${(\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}\le {(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}.$

Modèle:Démonstration/début $L^p(X)$ étant un espace vectoriel, $f+g\in L^p(X)$. Si $\Vert f+g{\Vert }_p=0$, l'inégalité est vérifiée.

Sinon, en appliquant successivement l'inégalité triangulaire dans $ℝ$ et l'inégalité de Hölder (avec $q=\frac{p}{p-1}$), il vient: $\begin{array}{cc}\Vert f+g{\Vert }_p^p& =\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \\ & \le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & \le ({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p},\end{array}$ d'où l'inégalité annoncée. Modèle:Démonstration/fin

De plus, pour $p>1$, il y a égalité si et seulement si $f$ et $g$ sont positivement liées presque partout (p.p.), c'est-à-dire si $f=0$ p.p. ou s'il existe un réel $\lambda \ge 0$ tel que $g=\lambda f$ p.p.

Cas particuliers

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝModèle:Exp (ou ℂModèle:Exp) et même de séries (Modèle:Math) :

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}.$

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant la mesure de comptage.

Inégalité intégrale de Minkowski

Soient $(X,𝒜,\mu )$ et $(Y,ℬ,\nu )$ deux espaces mesurés σ-finis et $F$ une fonction mesurable positive sur leur produit. Alors, pour tout Modèle:MathModèle:,Modèle:, :

${(\underset{X}{\int }{(\underset{Y}{\int }F(x,y)\mathrm{d}\nu (y))}^p\mathrm{d}\mu (x))}^{\frac{1}{p}}\le \underset{Y}{\int }{(\underset{X}{\int }F(x,y{)}^p\mathrm{d}\mu (x))}^{\frac{1}{p}}\mathrm{d}\nu (y).$

Dans le cas où $Y$ est une paire et $\nu$ la mesure de comptage, l'hypothèse de σ-finitude pour $\mu$ est superflue et l'on retrouve l'énoncé précédent.

Dans le cas où p > 1, il y a égalité (si et) seulement s'il existe $\phi ,\psi$ mesurables positives (sur $X$ et $Y$ respectivement) telles que F(x,y) = φ(x)ψ(y) p.p. pour la mesure produit.