Lemme du ping-pong

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Modèle:Homon En mathématiques, le lemme du ping-pong permet de montrer que certains éléments d'un groupe agissant sur un ensemble engendrent un sous-groupe libre de ce groupe.

Histoire

L'argument du ping-pong remonte à la fin du Modèle:S et est généralement attribué[1] à Felix Klein, qui l'utilisa pour étudier les Modèle:Lien, Modèle:C.-à-d. les sous-groupes discrets de PSL(2, ℂ). Le lemme du ping-pong fut un outil crucial pour Jacques Tits, qui l'utilisa dans son article de 1972[2] contenant la preuve d'un résultat célèbre appelé dès lors l'Modèle:Lien. Ce théorème établit que tout groupe linéaire de type fini est virtuellement résoluble ou bien contient un sous-groupe libre de rang 2. Le lemme du ping-pong et ses variantes[1]Modèle:,[3]Modèle:,[4] sont largement utilisés en topologie géométrique et en théorie géométrique des groupes.

Énoncés

Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Modèle:Théorème Modèle:Théorème Cette variante se déduit de l'énoncé précédent en posant XModèle:Ind = XModèle:IndModèle:Exp∪XModèle:IndModèle:Exp et HModèle:Ind = ⟨aModèle:Ind⟩.

Exemples

Dans le groupe spécial linéaire

Le groupe spécial linéaire SL(2,Z) est engendré par les deux matrices élémentaires de transvections

A:=(1101) et B:=(1011).

On peut utiliser le lemme du ping-pong pour démontrer[1]Modèle:,[3]Modèle:,[5] que pour tout entier k≥2, le sous-groupe engendré par les matrices

Ak=(1k01) et Bk=(10k1)[6]

est libre de rang 2.

Dans un groupe hyperbolique

Dans un groupe hyperbolique sans torsion, soient g et h deux éléments qui ne commutent pas. Alors[7], il existe M ≥ 1 tel que pour tous entiers m, n ≥ M, le sous-groupe ⟨gn, hm⟩ soit libre de rang 2.

Applications

  • Le lemme du ping-pong est utilisé dans les groupes Kleiniens, pour étudier leurs Modèle:Lien. Dans ce contexte, il permet de montrer qu'un certain groupe d'isométries de l'espace hyperbolique de dimension 3 est non seulement libre mais proprement discontinu et Modèle:Lien.
  • Des arguments similaires sont largement utilisés en théorie géométrique des groupes, en particulier pour les sous-groupes de groupes hyperboliques[7] et pour les groupes d'automorphismes d'arbres[8].
  • Le lemme du ping-pong est aussi utilisé pour étudier les sous-groupes de type Schottky des mapping class groups de surfaces de Riemann, où l'ensemble sur lequel agit le mapping class group est le Modèle:Lien de l'espace de Teichmüller[9]. Un argument similaire est aussi utilisé dans l'étude des sous-groupes du groupe des automorphismes extérieurs d'un groupe libre[10].
  • L'une des applications les plus célèbres du lemme du ping-pong est la preuve par Jacques Tits de son alternative pour les groupes linéaires[2]Modèle:,[11].
  • Certaines généralisations du lemme du ping-pong produisent non seulement des produits libres mais aussi des produits libres amalgamés et des extensions HNN[3]. Elles sont utilisées en particulier dans la preuve du théorème de combinaison de Maskit pour les groupes Kleiniens[12].
  • D'autres versions du lemme du ping-pong garantissent que certains éléments d'un groupe engendrent un demi-groupe libre. De telles versions existent tant dans le cadre général de l'action d'un groupe sur un ensemble[13] que pour des types d'actions plus spécifiques, comme dans le contexte des groupes linéaires[14] ou des Modèle:Lien[15], ou autres[16].

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Bibliographie

Modèle:Portail

  1. ↑ 1,0 1,1 et 1,2 Modèle:Ouvrage.
  2. ↑ 2,0 et 2,1 Modèle:Article.
  3. ↑ 3,0 3,1 et 3,2 Modèle:Ouvrage.
  4. ↑ Modèle:Ouvrage.
  5. ↑ Modèle:Article.
  6. ↑ Ou plus généralement : le sous-groupe engendré par Aj et Bk pour j,k∈ℤ∖{−1,0,1} : cf. Modèle:Chapitre, Proposition 1.2.
  7. ↑ 7,0 et 7,1 Modèle:Chapitre, § 8.2, Modèle:P..
  8. ↑ Modèle:Article.
  9. ↑ Modèle:Chapitre.
  10. ↑ Modèle:Article.
  11. ↑ Voir aussi Modèle:Article pour une présentation de la preuve de Tits, expliquant les idées en jeu, y compris l'utilisation du lemme du ping-pong.
  12. ↑ Modèle:Ouvrage, chap. VII.C et VII.E, Modèle:P. et 160-167.
  13. ↑ Modèle:Harvsp.
  14. ↑ Modèle:Article, Modèle:Lang 2.2.
  15. ↑ Modèle:Chapitre, Modèle:Lang.
  16. ↑ Modèle:Article, Modèle:Lang 2.1.
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