Logarithme népérien de deux

Le logarithme népérien (ou naturel) du nombre 2 a pour développement décimal (Modèle:OEIS) :

$\ln 2=0,693147180559945309417232121458\cdots$

Le logarithme de 2 en base quelconque s'obtient par la formule :

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}.$

En particulier, le logarithme décimal a pour développement ( Modèle:OEIS2C ) :

${\log }_{10}2=0,301029995663981195\cdots$

L'inverse de ce nombre est le logarithme binaire de 10 :

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}=3,321928095\cdots$ ( Modèle:OEIS2C ).

D'après le théorème de Lindemann-Weierstrass, le logarithme népérien (ou naturel) de tout entier naturel autre que 0 et 1 (plus généralement, de tout nombre algébrique positif autre que 1) est un nombre transcendant.

Développements en série

Séries alternées

La valeur numérique de Modèle:Math peut s'obtenir avec la fameuse « série harmonique alternée » :

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots .$

Sa convergence lente la rend d'un intérêt peu pratique, mais on peut construire des formules plus efficaces :

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)};$

$\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)};$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)};$

$\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)};$

$\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

Séries monotones

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n};$

$\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)};$

$\ln 2=\frac{1}{2}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)};$

$\ln 2=\frac{5}{6}-6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)};$

$\ln 2=\frac{7}{12}+24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)};$

$\ln 2=\frac{47}{60}-120\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

Autres développements en série

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2;$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1;$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4n{)}^3-4n}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\ln 2;$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1;$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2};$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-2n}=\ln 2;$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}=\ln 2;$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(3n+1)(3n+2)}=\frac{2\ln 2}{3};$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-3n}=\ln 2+\frac{\pi }{6}$ (sommes des inverses des nombres décagonaux).

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}};$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+2}=-\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}};$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sum _{k=1}^n{k}^2}=18-24\ln 2$ en utilisant $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=N}^{2N}\frac{1}{n}=\ln 2;$

Développements impliquant la fonction zêta de Riemann

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}=\ln 2;$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (n)-1}{2^n}=\ln 2-\frac{1}{2};$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n+1)-1}{2n+1}=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2};$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)}{2^{2n-1}(2n+1)}=1-\ln 2$.

(ici Modèle:Formule est la constante d'Euler-Mascheroni et Modèle:Formule la fonction zêta de Riemann).

Développements issus du développement en série entière du logarithme au voisinage de 1

Ce développement du logarithme népérien (ou naturel) s'écrit : $\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}(1)$, valable pour $x\in [-1,1[$.

Il donne $\ln \frac{1+x}{1-x}=2x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{2k+1}(2)$, valable pour $x\in ]-1,1[$.

On obtient :

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ pour $x=-1$ dans (1),

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}$ pour $x=1/2$ dans (1),

$\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{9^k(2k+1)}$ pour $x=1/3$ dans (2).

En écrivant $2=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}$ on obtient :

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^{n}n};$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{n}n};$

$\ln 2=\frac{2}{5}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^k(2k+1)}+\frac{2}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{49^k(2k+1)}.$

En écrivant $2=(\sqrt{2}{)}^2$ on obtient :

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(\sqrt{2}+1{)}^{n}n};$

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2+\sqrt{2}{)}^{n}n};$

$\ln 2=\frac{4}{3+2\sqrt{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(17+12\sqrt{2}{)}^k(2k+1)}.$

En écrivant $2={\left(\frac{16}{15}\right)}^7\cdot {\left(\frac{81}{80}\right)}^3\cdot {\left(\frac{25}{24}\right)}^5$ on obtient :

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{15^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{80^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{24^{n}n};$

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{81^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^{n}n};$

$\ln 2=\frac{14}{31}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{961^k(2k+1)}+\frac{6}{161}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25921^k(2k+1)}+\frac{10}{49}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2401^k(2k+1)}.$

Développements de type BBP

Modèle:Article détaillé Une formule de calcul de Modèle:Math se déduit de la démonstration de la formule BBP :

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$

Représentations intégrales

Le logarithme népérien (ou naturel) de 2 apparaît fréquemment à la suite d'une intégration. Par exemple :

$I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln 2$

$I_2=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{2}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln 2}$

$I_3=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan x\mathrm{d}x=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan x\mathrm{d}x=\ln 2$

$I_4=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-2x}}{x}\mathrm{d}x=\ln 2$

$I_5=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln 2$

$I_6=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x-\cos 2x}{x}\mathrm{d}x=\ln 2$

$I_7=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arctan 2x-\arctan x}{x}\mathrm{d}x=\ln 2$

$I_8=-\frac{1}{\mathrm{i}\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x\ln \ln x}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=\ln 2$

Autres représentations

Développement en série d'Engel :

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots$, voir Modèle:OEIS2C.

Développement en série de Pierce (analogue au développement d'Engel, mais avec des signes alternés) :

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots$, voir Modèle:OEIS2C.

Développement en cotangente continue de Lehmer :

$\ln 2=\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(5)-\mathrm{arccot}(55)+\mathrm{arccot}(14187)-\cdots )$, voir Modèle:OEIS2C.

Développement en fraction continue simple :

$\ln 2=[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...],$ voir Modèle:OEIS2C,

ce qui donne des approximations rationnelles, dont les premières sont 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 et 61/88.

Il existe aussi un développement en fraction continue généralisée :

$\ln 2=[0;1,2,3,1,5,\frac{2}{3},7,\frac{1}{2},9,\frac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...]$,

également exprimable sous la forme

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}.$

Décimales connues

Ci-dessous est présenté un tableau des enregistrements récents pour le calcul des décimales de Modèle:Formule . Depuis décembre 2018, il a été calculé plus de décimales que pour tout autre logarithme népérienModèle:, d'un entier naturel, à l'exception de celui de 1.

Date	Nom	Nombre de décimales
7 janvier 2009	A. Yee et R. Chan	15 500 000 000
4 février 2009	A. Yee et R. Chan	31 026 000 000
21 février 2011	Alexandre Yee	50 000 000 050
14 mai 2011	Shigeru Kondo	100 000 000 000
28 février 2014	Shigeru Kondo	200 000 000 050
12 juillet 2015	Ron Watkins	250 000 000 000
30 janvier 2016	Ron Watkins	350 000 000 000
18 avril 2016	Ron Watkins	500 000 000 000
10 décembre 2018	Michael Kwok	600 000 000 000
26 avril 2019	Jacob Riffee	1 000 000 000 000
19 août 2020	Seungmin KimModèle:,	1 200 000 000 100
9 septembre 2021	William EcholsModèle:,	1 500 000 000 000

Articles connexes

• Règle des 72, article dans lequel Modèle:Formule figure en bonne place
• Demi-vie, article dans lequel Modèle:Formule figure en bonne place

Notes et références

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article