Polynôme de Touchard

Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard^[1], aussi appelés polynômes exponentiels^[2]Modèle:,^[3]Modèle:,^[4] ou polynômes de Bell^[5], constituent une suite de polynômes de type polynomial^[6] définie par

T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} S (n, k) x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {\binom{n}{k}} x^{k}

,

où $S (n, k) = {\binom{n}{k}}$ est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides disjoints.

Propriétés

La valeur en 1 du $n$ -ième polynôme de Touchard est le $n$ -ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille $n$ :
$T_{n} (1) = B_{n}$ .

Les polynômes de Touchard peuvent être calculés comme sommes de séries :
$T_{n} (x) = e^{- x} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k} k^{n}}{k!}$ .

La suite de polynômes est de type binomial et satisfait aux identités
$T_{n} (x + y) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) T_{k} (x) T_{n - k} (y)$ .

Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.

Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :
$T_{n} (e^{x}) = e^{- e^{x}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{e^{x}} .$

Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :
$T_{n + 1} (x) = x (1 + \frac{d}{d x}) T_{n} (x)$ et $T_{n + 1} (x) = x \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) T_{k} (x)$ .

Pour

x = 1

, cette dernière relation se réduit à la formule de récurrence usuelle pour les nombres de Bell.

Avec la notation $T^{n} (x) = T_{n} (x)$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :
$T_{n} (x + y) = {(T (x) + T (y))}^{n},$ et $T_{n + 1} (x) = x {(1 + T (x))}^{n} .$

La série génératrice exponentielle des polynômes de Touchard est :
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{T_{n} (x)}{n!} t^{n} = e^{x (e^{t} - 1)}$ ,

ce qui est la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :
$T_{n} (x) = \frac{n!}{2 i π} \oint \frac{e^{x (e^{t} - 1)}}{t^{n + 1}} d t$ .

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs^[7]. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par^[8] :

\frac{1}{n} (\binom{n}{2}) + \frac{n - 1}{n} \sqrt{{(\binom{n}{2})}^{2} - \frac{2 n}{n - 1} ((\binom{n}{3}) + 3 (\binom{n}{4}))},

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'indice n.

On peut encadrer la mesure de Mahler $M (T_{n})$ des polynômes de Touchard comme suit^[9] :

\frac{{\binom{n}{Ω_{n}}}}{(\binom{n}{Ω_{n}})} \leq M (T_{n}) \leq \sqrt{n + 1} {\binom{n}{K_{n}}}

où $Ω_{n}$ et $K_{n}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement ${\binom{n}{k}} / (\binom{n}{k})$ et ${\binom{n}{k}}$ .

Les polynômes de Bell complets $B_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard $T_{n} (x)$ , puisque
$T_{n} (x) = B_{n} (x, x, \dots, x)$ .
Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :
$T_{n} (x) = \frac{n!}{π} \int_{0}^{π} e^{x (e^{\cos (θ)} \cos (\sin (θ)) - 1)} \cos (x e^{\cos (θ)} \sin (\sin (θ)) - n θ) d θ$ .

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↑ Modèle:MathWorld.
↑ Une suite de polynômes indexés par { 0, 1, 2, 3, ... }, où l'index de chaque polynôme est égal à son degré, est de type polynomial si elle vérifie les identités
$p_{n} (x + y) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p_{k} (x) p_{n - k} (y)$ .
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