Tangente hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction Modèle:Math.

La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique. C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique.

Définition

La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique, notée Modèle:Math (ou Modèle:Math), Modèle:Retrait est définie à l'aide de la tangente hyperbolique par : Modèle:Retrait

Propriétés

Cette fonction est bijective, impaire et son image est $ℝ$. Elle est continue, strictement croissante, concave sur $]-1,0[$ et convexe sur $]0,+1[$.

Sa valeur en Modèle:Math est Modèle:Math et sa limite en 1 est Modèle:Math.

Elle est dérivable sur $]-1,1[$ et sa dérivée est donnée par Modèle:Retrait

Par conséquent, la fonction Modèle:Math s'exprime à l'aide du logarithme népérien par Modèle:Retrait

La fonction tangente hyperbolique réciproque admet pour développement en série entière, valable pour $|x|<1$Modèle:,:

$\mathrm{artanh}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.$

Extension sur le plan complexe

Modèle:Article détaillé La fonction peut être étendue sur le plan complexe, avec une définition similaire : Modèle:Retrait On utilise cependant ici la valeur principale du logarithme complexe.