Théorème de Grunwald-Wang
En théorie algébrique des nombres, le théorème de Grunwald-Wang est un exemple de principe local-global, selon lequel — hormis dans certains cas précisément identifiés — un élément d'un corps de nombres K est une puissance n-ième dans K si c'est une puissance n-ième dans le complété KModèle:Ind pour presque tout idéal premier p de [[Élément entier|OModèle:Ind]] (c'est-à-dire pour tous sauf un nombre fini). Par exemple, un rationnel est le carré d'un rationnel si c'est le carré d'un nombre p-adique pour presque tout nombre premier p.
Il a été introduit par Modèle:Lien en 1933[1], mais une erreur dans cette première version fut détectée et corrigée par Modèle:Lien en 1948[2].
Histoire
Grunwald, un étudiant de Hasse, avait donné une « preuve » de l'énoncé erroné[1] selon lequel un élément d'un corps de nombres serait une puissance n-ième s'il en est une localement presque partout. Whaples en avait donné une autre « preuve »[3]. Cependant, Wang découvrit le contre-exemple suivant[2] : 16 est une puissance Modèle:8e p-adique pour tout premier impair p, mais n'est pas une puissance Modèle:8e rationnelle ni 2-adique. Dans sa thèse[4] dirigée par Artin, Wang énonça et démontra la formulation correcte de l'assertion de Grunwald, en précisant les rares cas où elle était fausse. Ce résultat est à présent connu sous le nom de théorème de Grunwald-Wang.
Contre-exemples
L'affirmation originelle de Grunwald, selon laquelle un élément qui est une puissance n-ième presque partout localement est toujours une puissance n-ième globale, peut être mise en défaut de deux façons, dont la première est le contre-exemple de Wang :
Puissance n-ième localement presque partout mais pas localement partout
Le rationnel 16 est une puissance Modèle:8e à toutes les places sauf 2. En effet :
- ce n'est pas une puissance Modèle:8e dans les nombres 2-adiques (donc pas non plus dans les rationnels) puisque sa valuation 2-adique est 4, qui n'est pas divisible par 8 ;
- dans un corps quelconque, 16 est une puissance Modèle:8e et seulement si le polynômeModèle:Retraita une racine, c'est-à-dire si 2, –2 ou –1 est un carré. Soit p un nombre premier impair. Par multiplicativité du symbole de Legendre, 2, –2 ou –1 est un carré modulo p. D'après le lemme de Hensel, 2, –2 ou –1 est donc un carré dans ℚModèle:Ind.
Puissance n-ième localement partout mais pas globalement
Le nombre 16 n'est pas une puissance Modèle:8e dans [[Extension quadratique|ℚ(Modèle:Sqrt)]]. Pourtant, il en est une localement partout — c'est-à-dire dans ℚModèle:Ind(Modèle:Sqrt) pour tout p — d'après ce qui précède et l'égalité ℚModèle:Ind(Modèle:Sqrt) = ℚModèle:Ind(Modèle:Sqrt)[5].
Une conséquence du contre-exemple de Wang
Ce contre-exemple montre qu'on ne peut pas toujours trouver une extension cyclique de degré donné, avec ramifications prescrites sur un ensemble fini de places :Modèle:Retrait
Corps spéciaux
Pour tout s ≥ 2, soit Modèle:Retrait
On peut remarquer que le corps cyclotomique d'indice 2Modèle:Exp est ℚModèle:Ind = ℚ(Modèle:Math).
Un corps est dit s-spécial s'il contient Modèle:Math mais ne contient ni Modèle:Math, ni Modèle:Math, ni Modèle:Math.
Par exemple — puisque Modèle:Math et Modèle:Math = Modèle:Sqrt — un corps est 2-spécial s'il ne contient ni Modèle:Sqrt, ni Modèle:Sqrt, ni Modèle:Sqrt.
Énoncé du théorème
Soient K un corps de nombres, n un entier naturel et S un ensemble fini de premiers de K. Posons Modèle:Retrait
Le théorème de Grunwald-Wang affirme que Modèle:Retrait sauf dans le cas spécial, c'est-à-dire sauf si les conditions suivantes sont vraies toutes les deux :
- K est s-spécial pour un s tel que 2Modèle:Exp divise n ;
- S contient l'ensemble spécial SModèle:Ind constitué des premiers p (nécessairement 2-adiques) tels que KModèle:Ind est s-spécial.
De plus, dans le cas spécial, le « défaut » du principe de Hasse est fini : le noyau de Modèle:Retrait n'a que deux éléments.
Explication des contre-exemples
Pour le corps ℚ, 2-spécial avec SModèle:Ind = {2}, le cas spécial a lieu lorsque n est divisible par 8 et S contient 2. Cela explique le contre-exemple de Wang et montre qu'il est minimal. On voit aussi qu'un rationnel est une puissance n-ième si c'est une puissance n-ième p-adique pour tout p[6].
Le corps ℚ(Modèle:Sqrt) est 2-spécial aussi mais avec SModèle:Ind = ⌀, ce qui explique l'autre contre-exemple ci-dessus.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Liens externes
- ↑ 1,0 et 1,1 Modèle:Article.
- ↑ 2,0 et 2,1 Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Une preuve bien plus élémentaire est de remarquer que pour tout nombre premier p, en notant r la p-valuation de x : s'il existe un rationnel y tel que la p-valuation de x – yModèle:Exp soit > r alors, r est égal à la p-valuation de yModèle:Exp donc est divisible par n.