Théorème de Müntz

Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergueï Bernstein et démontré en 1914 par Herman Müntz. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple.

Pour Modèle:Math un segment quelconque de ℝ, le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de Modèle:Math dans ℂ est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment Modèle:Math est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.

Énoncé

Soient :

• $({\lambda }_n{)}_n$une suite strictement croissante de réels strictement positifs ;
• Modèle:Math avec Modèle:Math ;
• Modèle:Math l'espace vectoriel normé des fonctions continues de Modèle:Math dans $ℂ$ (muni de la norme de la convergence uniforme) ;
• Modèle:Math le sous-ensemble des fonctions Modèle:Math, auxquelles on adjoint, si Modèle:Math, la fonction constante Modèle:Math.

Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

• Modèle:Math est total dans Modèle:Math, (c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel qu'il engendre est dense).

• La suite $({\lambda }_n{)}_n$ satisfait : $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{{\lambda }_n}=+\mathrm{\infty }$

Démonstration du sens indirect

Nous allons démontrer que l'hypothèse $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{{\lambda }_n}=+\mathrm{\infty }$ est suffisante pour que $F$ soit total dans $C(I)$. La preuve suivante (pour Modèle:Math) nécessite l'hypothèse supplémentaire Modèle:Math mais Modèle:Citation

Les hypothèses sont donc : Modèle:Retrait et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier Modèle:Math, il existe une suite de fonctions Modèle:Math, combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des Modèle:Math, telle que la différence Modèle:Math converge uniformément vers Modèle:Math sur Modèle:Math. On définit par récurrence une telle suite en posant : Modèle:Retrait On vérifie facilement (par récurrence) que :

1. chaque Modèle:Math est la différence de Modèle:Math et d'une combinaison linéaire des Modèle:Math pour Modèle:Math ;
2. en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur Modèle:Math,Modèle:Retraitou encore, en appliquant le logarithme :Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration Puisque Modèle:Math, on a l'équivalent Modèle:Retrait Par comparaison des séries, on en déduit que Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Math.