Inégalité de Muirhead

En mathématiques, lModèle:'inégalité de Muirhead, portant le nom du mathématicien écossais Robert Franklin Muirhead, est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Définitions préliminaires

La « a-moyenne »

Soit Modèle:Math une famille de nombres réels.

Pour toute famille (Modèle:Math) de nombres réels strictement positifs, on définit la Modèle:Mvar-moyenne, notée Modèle:Math, de Modèle:Math par :

$[a]=\frac{1}{n!}\sum _{\sigma }{x}_{{\sigma }_1}^{a_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{a_n},$

où la somme est étendue à toutes les permutations Modèle:Mvar de {1, ..., n}.

Pour Modèle:Math, on obtient la moyenne arithmétique de Modèle:Math et pour Modèle:Math, la moyenne géométrique de Modèle:Math. Quand Modèle:Math, il s'agit de la moyenne de Heinz.

Matrices bistochastiques

Une matrice carrée Modèle:Mvar est bistochastique ou doublement stochastique si à la fois Modèle:Mvar et sa transposée sont des matrices stochastiques. Ainsi, une matrice est bistochastique si ses éléments sont strictement positifs, et si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne est égale à 1.

L'inégalité de Muirhead

La démonstration utilise le fait que toute matrice bistochastique est la moyenne pondérée de matrices de permutation (cet énoncé constitue le théorème de Birkhoff-von Neumann). Une démonstration se trouve par exemple dans le livre de Modèle:Harvsp.

Une autre formulation

À cause de la symétrie dans la somme, on peut supposer que les familles Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont décroissantes :

$a_1⩾a_2⩾\cdots ⩾a_n\text{ et }{b}_1⩾b_2⩾\cdots ⩾b_n.$

On peut montrer que l'existence d'un matrice bistochastique Modèle:Mvar telle que Modèle:Math est alors équivalente au système d'inégalités : Modèle:Indente pour Modèle:Math, avec égalité pour Modèle:Math, en d'autres termes, au fait que la famille Modèle:Mvar majorise Modèle:Mvar. On peut donc énoncer :

L'inégalité arithmético-géométrique comme conséquence

On se sert de la deuxième formulation de l'inégalité. Posons Modèle:Indente

Alors Modèle:Indente Donc Modèle:Mvar majorise Modèle:Mvar. Il en résulte que $[a]⩾[g]$, ce qui s'écrit :

$\frac{1}{n!}(x_1^1\cdot x_2^0\cdots x_n^0+\cdots +x_1^0\cdots x_n^1)(n-1)!⩾\frac{1}{n!}(x_1\cdot \cdots \cdot x_n{)}^{\frac{1}{n}}n!⟺\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n^1)⩾(x_1\cdot \cdots \cdot x_n{)}^{\frac{1}{n}}$.

On retrouve ainsi précisément l'inégalité arithmético-géométrique.

Autres exemples

Notation

Dans les calculs, une notation spéciale pour la sommation peut s'avérer utile. On écrit

$\sum _{\text{sym}}{x}_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$

à la place de la notation

$\sum _{\sigma }{x}_{{\sigma }_1}^{{\alpha }_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{{\alpha }_n}$

où la sommation est effectuée sur toutes les permutations. Ainsi

$\begin{array}{cc}\sum _{\text{sym}}{x}^3{y}^2{z}^0& =x^3{y}^2{z}^0+x^3{z}^2{y}^0+y^3{x}^2{z}^0+y^3{z}^2{x}^0+z^3{x}^2{y}^0+z^3{y}^2{x}^0\\ & (=x^3{y}^2+x^3{z}^2+y^3{x}^2+y^3{z}^2+z^3{x}^2+z^3{y}^2).\end{array}$

Exemples d'emploi

• Pour prouver que

$x^2+y^2⩾2xy,$

on transforme l'inégalité en une somme symétrique :

$\sum _{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}}{x}^2{y}^0⩾\sum _{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}}{x}^1{y}^1.$

Comme la suite (2, 0) majorise (1, 1), on obtient l'inégalité par le théorème de Muirhead.

• Un deuxième exemple est :

$x^3+y^3+z^3⩾3xyz$.

On part de :

$\sum _{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}}{x}^3{y}^0{z}^0⩾\sum _{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}}{x}^1{y}^1{z}^1$

qui est vrai parce que (3, 0, 0) majorise la famille (1, 1, 1). La sommation sur les six permutations réduit l'inégalité à :

$2x^3+2y^3+2z^3⩾6xyz$

d'où le résultat recherché.

• L'inégalité de Nesbitt : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}⩾\frac{3}{2}$, qui s'écrit aussi : $2(a^3+b^3+c^3)⩾a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+c^{2}a+a{c}^2$, constitue un troisième exemple d'application.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio
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