Formule de fraction continue d'Euler

En théorie analytique des nombres, la formule de fraction continue d'Euler est une identité reliant les séries aux fractions continues généralisées, publiée par Leonhard Euler en 1748 et utile dans l'étude du problème de convergence général pour les fractions continues à coefficients complexes.

Cas fini

Euler a établi une identité dont la transcription est, en notation de Pringsheim :

$\frac{\alpha }{P}-\frac{\alpha \beta }{PQ}+\frac{\alpha \beta \gamma }{QR}-\frac{\alpha \beta \gamma \delta }{RS}+\dots =\frac{\alpha \mid }{\mid P}+\frac{\beta \mid }{\mid (Q-\beta )/P}+\frac{\gamma \mid }{\mid (R-\gamma P)/Q}+\frac{\delta \mid }{\mid (S-\delta Q)/R}+\cdots ,$

cette égalité signifiant seulement que les sommes partielles de la série de gauche sont égales aux réduites de la fraction continue de droite, autrement dit :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\frac{a_1}{k_1}-\sum _{i=2}^n\frac{\prod _{j=1}^i(-a_j)}{k_{i-1}{k}_i}=\frac{a_1\mid }{\mid k_1}+\frac{a_2\mid }{\mid (k_2-a_2)/k_1}+\frac{a_3\mid }{\mid (k_3-a_3{k}_1)/k_2}+\cdots +\frac{a_n\mid }{\mid (k_n-a_n{k}_{n-2})/k_{n-1}}.$

Il trouve simplement cette formule par une analyse rétrograde des relations fondamentales sur les réduites.

Cas infini

Par changement de notations et passage à la limite, on en déduit :

$\frac{x_0}{y_0}+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{j=0}^i{x}_j}{y_{i-1}{y}_i}=\frac{x_0\mid }{\mid y_0}-\frac{x_1\mid }{\mid (y_1+x_1)/y_0}-\frac{x_2\mid }{\mid (y_2+x_2{y}_0)/y_1}-\frac{x_3\mid }{\mid (y_3+x_3{y}_1)/y_2}-\cdots ,$

pour toutes suites de nombres complexes Modèle:Math non nuls et Modèle:Math tels que la série de gauche converge. Ceci permet donc, après avoir mis une série convergente sous la forme adéquate, de la transformer en fraction continue. De plus, si les complexes Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions d'une variable z et si la convergence de la série est uniforme par rapport à z, il en est naturellement de même pour la convergence de la fraction continue.

Cette formule a de nombreux corollaires, comme :

1. en prenant tous les Modèle:Math égaux à 1 :$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{j=0}^i{x}_j=\frac{x_0\mid }{\mid 1}-\frac{x_1\mid }{\mid 1+x_1}-\frac{x_2\mid }{\mid 1+x_2}-\frac{x_3\mid }{\mid 1+x_3}-\cdots ;$
2. en posant Modèle:Math et pour j > 0, Modèle:Math et Modèle:Math :$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^i}{a_0{a}_1\dots a_i}=\frac{1\mid }{\mid a_0}-\frac{a_{0}z\mid }{\mid a_1+z}-\frac{a_{1}z\mid }{\mid a_2+z}-\frac{a_{2}z\mid }{\mid a_3+z}-\cdots ;$
3. en posant Modèle:Math et pour j > 0, Modèle:Math et Modèle:Math :$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{Z^i}{u_i}=\frac{1\mid }{\mid u_0}-\frac{u_0^{2}Z\mid }{\mid u_1+u_{0}Z}-\frac{u_1^{2}Z\mid }{\mid u_2+u_{1}Z}-\frac{u_2^{2}Z\mid }{\mid u_3+u_{2}Z}-\cdots .$

Exemples

Fonction exponentielle

L'exponentielle complexe est une fonction entière donc son développement en série entière converge uniformément sur toute partie bornée du plan complexe : Modèle:Retrait Il en est donc de même pour la fraction continue (obtenue par le deuxième corollaire ci-dessus) :

${\mathrm{e}}^z=\frac{1\mid }{\mid 1}-\frac{z\mid }{\mid 1+z}-\frac{z\mid }{\mid 2+z}-\frac{2z\mid }{\mid 3+z}-\frac{3z\mid }{\mid 4+z}-\frac{4z\mid }{\mid 5+z}-\cdots .$

On en déduit par exemple :

$\frac{1}{\mathrm{e}}={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{1\mid }{\mid 0}+\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{2\mid }{\mid 2}+\frac{3\mid }{\mid 3}+\frac{4\mid }{\mid 4}+\cdots =\frac{1\mid }{\mid 2}+\frac{2\mid }{\mid 2}+\frac{3\mid }{\mid 3}+\frac{4\mid }{\mid 4}+\cdots$

donc

$\mathrm{e}=2+\frac{2\mid }{\mid 2}+\frac{3\mid }{\mid 3}+\frac{4\mid }{\mid 4}+\cdots =2+\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{1\mid }{\mid 2}+\frac{2\mid }{\mid 3}+\frac{3\mid }{\mid 4}+\frac{4\mid }{\mid 5}+\cdots ,$

la dernière égalité résultant d'une transformation usuelle.

Fonction logarithme

Le développement en série entière de la détermination principale du logarithme complexe appliqué à 1 + z est Modèle:Retrait Il converge uniformément quand z parcourt le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitrairement petit de −1. Il en est donc de même pour la fraction continue (obtenue par le troisième corollaire ci-dessus) :

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+z)=\frac{z\mid }{\mid 1}+\frac{1^{2}z\mid }{\mid 2-z}+\frac{2^{2}z\mid }{\mid 3-2z}+\frac{3^{2}z\mid }{\mid 4-3z}+\cdots .$

On en déduit par exemple :

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(2)=\frac{1\mid }{\mid 1}+\frac{1^2\mid }{\mid 1}+\frac{2^2\mid }{\mid 1}+\frac{3^2\mid }{\mid 1}+\cdots .$

Arc tangente hyperbolique

La fonction Modèle:Math est définie sur ℂ\Modèle:Math par Modèle:Retrait Par conséquent, uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage de Modèle:Math, Modèle:Retrait donc aussi (par le troisième corollaire ci-dessus)

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(z)=\frac{z\mid }{\mid 1}-\frac{z^2\mid }{\mid 3+z^2}-\frac{(3z{)}^2\mid }{\mid 5+3z^2}-\frac{(5z{)}^2\mid }{\mid 7+5z^2}-\frac{(7z{)}^2\mid }{\mid 9+7z^2}-\cdots .$

Arc tangente

La fonction Modèle:Math (circulaire) est reliée à la fonction Modèle:Math (hyperbolique) par Modèle:Retrait Elle a donc, uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitraire de [[Unité imaginaire|Modèle:Math]], un développement analogue en série entière (trouvé par Madhava puis par Gregory et Leibniz) : Modèle:Retrait et en fraction continue :

$\arctan (z)=\frac{z\mid }{\mid 1}+\frac{z^2\mid }{\mid 3-z^2}+\frac{(3z{)}^2\mid }{\mid 5-3z^2}+\frac{(5z{)}^2\mid }{\mid 7-5z^2}+\frac{(7z{)}^2\mid }{\mid 9-7z^2}+\cdots .$

Cotangente et tangente

Le [[Fonction trigonométrique#Définitions à partir des séries entières|développement de Modèle:Math]] Modèle:Retrait uniformément convergent hors d'un voisinage uniforme de ℤ, se transforme de même en

$\pi \cot (\pi z)=\frac{1\mid }{\mid z}+\frac{z^2\mid }{\mid 1-2z}+\frac{(1-z{)}^2\mid }{\mid 2z}+\frac{(1+z{)}^2\mid }{\mid 1-2z}+\frac{(2-z{)}^2\mid }{\mid 2z}+\frac{(2+z{)}^2\mid }{\mid 1-2z}+\cdots ,$

d'où

$\frac{\tan (\pi z)}{\pi z}=1+\frac{z\mid }{\mid 1-2z}+\frac{(1-z{)}^2\mid }{\mid 2z}+\frac{(1+z{)}^2\mid }{\mid 1-2z}+\frac{(2-z{)}^2\mid }{\mid 2z}+\frac{(2+z{)}^2\mid }{\mid 1-2z}+\cdots .$

Des séries analogues pour Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math se transforment de même en fractions continues.

[[Pi|Nombre Modèle:Math]]

Les développements ci-dessus de Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math — ces deux derniers nécessitant une normalisation pour retrouver des coefficients entiers — joints au fait que Modèle:Math ou Modèle:Math, donnent la fraction continue généralisée trouvée par William Brouncker en 1655 :

$\pi =\frac{4\mid }{\mid 1}+\frac{1^2\mid }{\mid 2}+\frac{3^2\mid }{\mid 2}+\frac{5^2\mid }{\mid 2}+\frac{7^2\mid }{\mid 2}+\cdots .$

Voir aussi

Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler