Moyenne pythagoricienne

Une construction géométrique de la moyenne quadratique et les moyennes pythagoriciennes (de deux nombres a et b). La moyenne harmonique est notée Modèle:Couleur de la police, géométrique par Modèle:Couleur de la police, arithmétique par Modèle:Couleur de la police et quadratique par Modèle:Couleur de la police.

Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de deux nombres. Les droites verticales en pointillés désignent les asymptotes des moyennes harmoniques.

En mathématiques, les trois moyennes pythagoriciennes sont la moyenne arithmétique (A), la moyenne géométrique (G) et la moyenne harmonique (H). Ces moyennes ont été étudiées avec proportions par les Pythagoriciens et des générations suivantes de mathématiciens grecs de par leur importance en géométrie et en musique.

Définition

On définit les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, comme suit respectivement :

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\\ \mathrm{G}(x_1,\dots ,x_n)& =\sqrt[n]{|x_1\times \cdots \times x_n|}\\ \mathrm{H}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\end{array}$

Propriétés

Chaque moyenne, Modèle:Math, vérifie les propriétés suivantes :

Homogénéité d'ordre 1

$\mathrm{M}(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b\mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)$

Invariance par permutation

$\mathrm{\forall }i,j,\mathrm{M}(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=\mathrm{M}(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$

Monotonie

$a<b\Rightarrow \mathrm{M}(a,x_1,x_2,\dots x_n)<\mathrm{M}(b,x_1,x_2,\dots x_n)$

Idempotence

$\mathrm{\forall }x,M(x,x,\dots x)=x$

La monotonie et l'idempotence combinées impliquent que la moyenne d'un ensemble se situe toujours entre les extrema de l'ensemble :

$\min (x_1,\dots ,x_n)\le \mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

Les moyennes harmonique et arithmétique sont duales réciproques l'une de l'autre pour des arguments positifs :

$\mathrm{H}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{A}(x_1,\dots ,x_n)}$

tandis que la moyenne géométrique est sa propre duale réciproque :

$\mathrm{G}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{G}(x_1,\dots ,x_n)}$

Inégalités entre moyennes

Preuve sans calcul de l'inégalité entre moyenne : la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne géométrique, qui est inférieure à l'arithmétique, elle-même inférieure à la quadratique.

Quand tous les arguments sont positifs, on peut ordonner les différentes moyennes :

$\min \le \mathrm{H}\le \mathrm{G}\le \mathrm{A}\le \max$

et l'égalité est atteinte si et seulement si tous les nombres sont égaux.

C'est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique et un cas spécial d'inégalité entre moyennes de différents ordres.

L'étude des moyennes pythagoriciennes est très proche de l'étude de la majoration et des fonctions Schur-convexes. Les moyennes harmoniques et géométriques sont concaves et symétriques, donc Schur-concaves, tandis que la moyenne arithmétique est multi-linéaire, donc concave et convexe à la fois.

Histoire

L'essentiel de ce qu'on connait des moyennes pythagoriciennes vient des ouvrages arithmétiques du Modèle:S- et Modèle:S-. Nicomaque de Gérase dit qu'elles étaient Modèle:Citation La première utilisation vient du philosophe pythagoricien Archytas de Tarente :

Le nom de "moyenne harmonique", selon Jamblique, est utilisé par Archytas et Hippase de Métaponte. Les moyennes pythagoriciennes apparaissent également dans le Timée de Platon. Elles sont aussi citées dans un commentaire de Pappus d'Alexandrie.

Le terme de "moyenne" (Modèle:Lang, mesótēs en grec ancien) apparait dans des ouvrages arithmétiques néopythagoriciens en lien avec le terme de "proportion" (Modèle:Lang, analogía en grec ancien).Modèle:Cn

Curiosité

Les plus petites paires d'entiers naturels telles que leurs moyennes arithmétique, géométrique et harmonique sont aussi entières sont (5,45) et (10,40).

Voir aussi

• Moyenne arithmético-géométrique
• Moyenne
• Nombre d'or
• Triangle de Kepler

Liens externes

• Modèle:MathWorld