Procédé archimédien

Modèle:Ébauche Un procédé archimédien (Modèle:Lang) est une méthode de calcul numérique itérative basée sur le calcul de moyennes (le plus couramment pythagoriciennes) de deux termes de deux suites.

Le nom vient du fait qu'il s'agit d'une généralisation de l'algorithme utilisé par Archimède pour donner les premières valeurs approchées de [[Pi|Modèle:MathPi]], en utilisant les moyennes harmonique et géométrique.

Historique

Algorithme d'Archimède

Dans son ouvrage De la mesure du cercle du Modèle:-s-, Archimède décrit un algorithme de calcul de [[Pi|Modèle:MathPi]] qu'on peut définir comme suit :

On part d'un demi-cercle de centre O et d'extrémités A et B
Sur la demi-droite tangente au demi-cercle en A, on place un point AModèle:Ind, et on construit BModèle:Ind sur le demi-cercle tel que $\hat{B A B_{0}} = \hat{A O A_{0}}$
On construit par récurrence les points AModèle:Ind, AModèle:Ind, ... et BModèle:Ind, BModèle:Ind, ... où pour tout n, AModèle:Ind est l'intersection de AAModèle:Ind et de la bissectrice de l'angle $\hat{A O A_{n - 1}}$ , et BModèle:Ind sur le demi-cercle tel que $\hat{B A B_{n}} = \hat{A O A_{n}}$

On a alors, par le théorème de la bissectrice intérieure :

\forall n \in ℕ, \frac{O A_{n}}{O A} = \frac{A_{n} A_{n + 1}}{A A_{n + 1}}

Donc

\forall n \in ℕ, \frac{O A + O A_{n}}{O A} = 1 + \frac{O A_{n}}{O A} = 1 + \frac{A_{n} A_{n + 1}}{A A_{n + 1}} = \frac{A A_{n + 1} + A_{n} A_{n + 1}}{A A_{n + 1}} = \frac{A A_{n}}{A A_{n + 1}}

d'où :

\frac{O A}{A A_{n}} + \frac{O A_{n}}{A A_{n}} = \frac{O A}{A A_{n + 1}}

De plus, le théorème de Pythagore donne :

\forall n \in ℕ, O A_{n}^{2} = O A^{2} + A A_{n}^{2}

En posant $t_{n} = O A / A A_{n}, s_{n} = O A_{n} / A A_{n}$ , on déduit les relations de récurrence :

\forall n \in ℕ, t_{n + 1} = t_{n} + s_{n}, s_{n + 1} = \sqrt{1 + t_{n}^{2}} .

On pourra reconnaitre des identités trigonométriques en remarquant que, en posant $θ = \hat{A O A_{0}}$ , on a

t_{n} = \cot (\frac{θ}{2^{n - 1}}), s_{n} = \csc (\frac{θ}{2^{n - 1}}) .

Archimède a plus précisément étudié le cas où θ désigne la moitié d'un angle au centre d'un polygone régulier, soit $θ = \frac{π}{N}$ . Les suites Modèle:Math et Modèle:Math désignent alors respectivement les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits à 2Modèle:ExpN côtés. On a alors :

\forall n \in ℕ, P_{n + 1} = \frac{2 P_{n} p_{n}}{P_{n} + p_{n}} = H (p_{n}, P_{n}), p_{n + 1} = \sqrt{p_{n} P_{n + 1}} = G (p_{n}, P_{n}) .

où Modèle:Math désigne la moyenne harmonique et Modèle:Math, la moyenne géométrique.

Archimède a appliqué cet algorithme en partant de l'hexagone régulier (N = 6).

Algorithme de Descartes

Dans un de ses travaux posthumes, Descartes a utilisé une approche différente pour le calcul de Modèle:MathPi.

On considère AModèle:IndBModèle:Ind un secteur circulaire de sommet O. On note MModèle:Ind le milieu de [AModèle:IndBModèle:Ind]. On trace PModèle:Ind l'intersection de l'arc de cercle et de la bissectrice de l'angle $\hat{A_{0} O B_{0}}$ . On construit MModèle:Ind le milieu de MModèle:IndPModèle:Ind et on trace la parallèle de AModèle:IndBModèle:Ind passant par MModèle:Ind, dont on note respectivement AModèle:Ind et BModèle:Ind, les intersections avec (AModèle:IndPModèle:Ind) et (BModèle:IndPModèle:Ind).

Par construction, AModèle:IndBModèle:Ind vaut la moitié de AModèle:IndBModèle:Ind. De plus, comme (OAModèle:Ind) et (AModèle:IndPModèle:Ind) sont perpendiculaires, on a :

O M_{1} \times O P_{0} = O M_{1} \times (O M_{1} + M_{1} P_{0}) = O M_{1}^{2} + O M_{1} \times M_{1} P_{0} = O M_{1}^{2} + M_{1} A_{1}^{2} = O A_{1}^{2}

.

Ainsi, dans le cas où AModèle:Ind et BModèle:Ind désignent deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à n côtés, OAModèle:Ind est le rayon de son cercle circonscrit, OMModèle:Ind celui de son cercle inscrit, et par construction, OAModèle:Ind et OMModèle:Ind sont respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit d'un polygone régulier à 2n côtés.

Améliorations

James Gregory adapte l'algorithme au calcul de secteurs elliptiques et hyperboliques dans son Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura^[1].

Dans une lettre, Gauss propose d'étudier l'algorithme dans le cas où la moyenne harmonique est remplacée par la moyenne arithmétique. Pfaff parvient à donner la solution générale de ce problème, redécouverte par Borchardt en 1881.

Principe

On considère deux moyennes MModèle:Ind et MModèle:Ind, définies pour deux nombres réels positifs, et deux nombres réels positifs a et b. Le procédé archimédien est défini par deux suites :

a_{0} : = a, b_{0} : = b, \forall n \in ℕ, a_{n + 1} = M_{1} (a_{n}, b_{n}), b_{n + 1} = M_{2} (a_{n}, b_{n}) .

Si MModèle:Ind et MModèle:Ind sont deux moyennes strictes, continues et symétriques, alors les deux suites convergent vers une même limite.

Algorithme d'Archimède–Borchardt

Suggéré d'abord par Gauss^[2], il porte le nom de Karl Wilhelm Borchardt. L'algorithme de Borchardt est une modification de l'algorithme d'Archimède :

a_{0} : = a, b_{0} : = b, \forall n \in ℕ, a_{n + 1} = M_{1} (a_{n}, b_{n}), b_{n + 1} = M_{2} (a_{n + 1}, b_{n}) .

Ainsi, l'algorithme d'Archimède décrit supra correspond au cas où MModèle:Ind est la moyenne harmonique et MModèle:Ind, la moyenne géométrique, $a = 3 \sqrt{3}, b = 3 \sqrt{3} / 2$ ; l'algorithme de Descartes correspond au cas où MModèle:Ind est la moyenne arithmétique et MModèle:Ind, la moyenne géométrique.

La moyenne obtenue avec MModèle:Ind est la moyenne harmonique et MModèle:Ind, la moyenne géométrique est appelée moyenne de Schwab-Brochardt et vaut^[3]:

S B (a, b) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{\arccos (a / b)} & si 0 ⩽ a < b, \\ \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{arcosh (a / b)} & si 0 ⩽ b < a . \end{matrix}

Le lien entre moyenne de Schwab-Brochardt et intégrale elliptique est établi par Carlson par l'égalité^[4]:

\frac{1}{S B (a, b)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t + a^{2}} (t + b^{2})} = R_{F} (a^{2}, b^{2}, b^{2})

où le deuxième terme est la Modèle:Lien d'une intégrale elliptique symétrique du premier type.

Applications

Calculs de racines carrées

La méthode de Héron, pour le calcul de la racine carrée d'un nombre A, peut être vue comme un algorithme d'Archimède avec les moyennes arithmétique et harmonique^[2], en initialisant aModèle:Ind à un nombre t quelconque et en posant $b_{n} = A / a_{n}$ .

Calculs d'intégrales elliptiques

Gauss a utilisé l'algorithme d'Archimède avec les moyennes arithmético-géométriques pour le calcul d'intégrales elliptiques après transformation de Landen, repris et approfondi par Derrick Lehmer^[5].

Calculs de logarithmes et de fonctions trigonométriques réciproques

Carlson utilise l'algorithme de Borchardt avec les moyennes arithmético-géométriques pour le calcul de logarithmes et de fonctions trigonométriques réciproques (circulaires et hyperboliques)^[6].

Références

Modèle:Références

Modèle:Portail

[1] Modèle:Article

[Jarczyk-2] 2,0 et ^2,1 Modèle:Article

[3] Modèle:Article.

[4] Modèle:Article

[5] Modèle:Article

[6] Modèle:Article

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Procédé archimédien

Sommaire

Historique

Algorithme d'Archimède

Algorithme de Descartes

Améliorations

Principe

Algorithme d'Archimède–Borchardt

Applications

Calculs de racines carrées

Calculs d'intégrales elliptiques

Calculs de logarithmes et de fonctions trigonométriques réciproques

Références

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