Fonction zêta de Hurwitz

Fonction zêta de Hurwitz

En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.

Elle est définie, pour toute valeur Modèle:Mvar du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes Modèle:Mvar tels que Modèle:Math :

$\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s}$.

Par prolongement analytique, $\zeta (\cdot ,q)$ s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle Modèle:Math.

$\zeta (\cdot ,1)$ est la fonction zêta de Riemann.

Représentation intégrale

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{\mathrm{e}}^{-tq}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t$,

où Modèle:Math désigne la fonction Gamma.

Prolongement analytique

La fonction $\zeta (\cdot ,q)$ s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle Modèle:Math, simple, avec un résidu égal à Modèle:Math.

Développement de Laurent

Son développement de Laurent en ce pôle est

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(q)(s-1{)}^n$

où les coefficients

${\gamma }_n(q)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\left(\sum _{k=0}^N\frac{{\ln }^n(k+q)}{k+q}\right)-\frac{{\ln }^{n+1}(N+q)}{n+1}\},n\in \mathbb{N}$

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles ${\gamma }_n(1)$ correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite :

${\gamma }_n(q)=(\frac{1}{2q}-\frac{\ln q}{n+1}){\ln }^{n}q-\mathrm{i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{2\pi x}-1}\{\frac{{\ln }^n(q-\mathrm{i}x)}{q-\mathrm{i}x}-\frac{{\ln }^n(q+\mathrm{i}x)}{q+\mathrm{i}x}\}$.

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma :

${\gamma }_0(q)=-\psi (q)=-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}$.

Formule de Hurwitz

La formule de HurwitzModèle:, est le théorème suivant, valide pour Modèle:Math et Modèle:Math, ainsi que pour Modèle:Math et Modèle:Math :

$\zeta (1-s,q)=\frac{\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi {)}^s}[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi s/2}F(q,s)+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi s/2}F(-q,s)]$

où

$F(q,s):=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi \mathrm{i}kq)}{k^s}={\text{Li}}_s({\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}q})$,

Modèle:Math étant la fonction polylogarithme.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers $1\le m\le n,$

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n\cos (\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\zeta (s,\frac{k}{n})$

reste valable pour toutes les valeurs de Modèle:Mvar.

Développement en série de Taylor

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

$\frac{\partial }{\partial q}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q)$.

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x)$.

Transformation de Fourier

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Lien avec d'autres fonctions spéciales

Relation avec les polynômes de Bernoulli

Puisque, avec la notion Modèle:Mvar introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour $0<x<1$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$) :

$B_n(x)=-n\frac{\mathrm{\Gamma }(n)}{(2\pi {)}^n}((-\mathrm{i}{)}^{n}F(x,n)+{\mathrm{i}}^{n}F(-x,n))$,

la formule de Hurwitz donne (pour Modèle:Math et $n\in \mathbb{N}$) :

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$.

Relation avec les fonctions L de Dirichlet

En fixant un entier Modèle:Math, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Modèle:Mvar sont des combinaisons linéaires de Modèle:Math où Modèle:Math et Modèle:Math.

Plus précisément, soit Modèle:Mvar un caractère de Dirichlet Modèle:Math. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}=\frac{1}{Q^s}\sum _{k=1}^Q\chi (k)\zeta (s,\frac{k}{Q})$.

Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible $k/Q\in ]0,1]$ :

$\zeta (s,\frac{k}{Q})=\frac{Q^s}{\phi (Q)}\sum _{\chi }\bar{\chi }(k)L(s,\chi )$,

la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet Modèle:Math.

Relation avec la fonction polygamma

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z)$.

Relation avec la fonction transcendante de Lerch

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

et ainsi

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q)$.

Relation avec la fonction thêta de Jacobi

Si $\vartheta (z,\tau )$ est la fonction thêta de Jacobi, alors

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,\mathrm{i}t)-1]t^{s/2}\frac{\mathrm{d}t}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]$

reste valable pour Modèle:Math et z complexe non entier.

Pour z = n un entier, ceci se simplifie en

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (n,\mathrm{i}t)-1]t^{s/2}\frac{\mathrm{d}t}{t}=2{\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)=2{\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$

où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque Modèle:Math.

Applications

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la Modèle:Lien.

Voir aussi

Article connexe

Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Abramowitz et Stegun, § 6.4.10
• Modèle:Article