Image réciproque

Représentation de l'image réciproque $f^{-1}(B)$ de Modèle:Math par une fonction Modèle:Math (qui ici est injective mais non surjective).

En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : $f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$. Elle est donc caractérisée par :

$x\in f^{-1}(B)\iff f(x)\in B$.

Exemples

• L'image réciproque $f^{-1}(\{y\})$ d'un singleton $\{y\}$ par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
• Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est fModèle:-1({a, b}) = {1}.

L'application « image réciproque »

Avec cette définition, fModèle:-1 est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée fModèle:-1, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque fModèle:-1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f_* au lieu de fModèle:-1.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties $B_1$ et $B_2$ de $Y$ :

  $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$ ;

  $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ ;

  $f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$.

• Pour toute partie $B$ de $Y$, $f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm{I}\mathrm{m}(f)$.
  • En particulier, si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.

    On peut même prouver que $f$ est surjective si et seulement si pour toute partie $B$ de $Y$ on a $f(f^{-1}(B))=B$.

• Pour toute partie $A$ de $X$, $A\subset f^{-1}(f(A))$.

  L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si $f$ n'est pas injective.

  On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toute partie $A$ de $X$ on a $f^{-1}(f(A))=A$.

• Pour toute famille ${\left(B_i\right)}_{i\in I}$ de parties de $Y$ :

  $f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcap _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$ ;

  $f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$.

• Si l'on considère de plus une application $g:Y\to Z$, alors l'image réciproque d'une partie $C$ de $Z$ par la composée $g\circ f$ est :

  $(g\circ f{)}^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))$.

Articles connexes

• Relation binaire réciproque
• L'opération d'image réciproque en géométrie différentielle, aussi appelée « tiré en arrière » ou « pullback ».