Condition de Hölder

En analyse, la continuité höldérienne ou condition de Hölder — nommée d'après le mathématicien allemand Otto Hölder — est une condition suffisante, généralisant celle de Lipschitz, pour qu’une application définie entre deux espaces métriques soit uniformément continue. La définition s’applique donc en particulier pour les fonctions d’une variable réelle.

Si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux espaces métriques, une fonction Modèle:Math est dite Modèle:Mvar-höldérienne s’il existe une constante Modèle:Mvar telle que pour tous Modèle:Math :

$d_Y(f(x),f(y))\le C{d}_X(x,y{)}^a$.

La continuité höldérienne d’une fonction dépend donc d’un paramètre Modèle:Math.

• Les applications 1-höldériennes sont les applications lipschitziennes.
• Pour Modèle:Math fixé, l’ensemble des fonctions réelles Modèle:Mvar-höldériennes bornées sur Modèle:Mvar est un espace vectoriel, couramment notéModèle:, CModèle:Exp(X), particulièrement important en analyse fonctionnelle.

Une fonction réelle d'une variable réelle peut aussi n'être que localement Modèle:Mvar-höldérienne (sur certains intervalles dans son domaine de définition, la valeur du paramètre Modèle:Mvar déterminant la largeur maximale de ces intervalles).

Exemples

Fonction puissance

La fonction racine carrée est Modèle:Sfrac-höldérienne sur ℝModèle:Ind.

Plus généralement, [[Fonction puissance#Infiniment petit et fonction höldérienne|pour Modèle:Math, la fonction puissance Modèle:Math est Modèle:Mvar-höldérienne sur ℝModèle:Ind]]. Cependant, elle n'est Modèle:Mvar-höldérienne sur ℝModèle:Ind pour aucun Modèle:Math.

Logarithme

La fonction $h:x\mapsto x\ln x$ est définie et continue sur ℝModèle:Ind*, et se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0.

Cette fonction intervient dans les définitions mathématiques de l’entropie (lire par exemple entropie de Shannon ou entropie de Kolmogorov).

Sur le segment [0, 1], la fonction Modèle:Mvar est Modèle:Mvar-höldérienne avec constante associée $C_a=1/[e(1-a)]$ pour tout Modèle:Math mais pas pour Modèle:Math.

Courbe de Peano

La courbe de Peano est une application continue surjective de [0, 1] sur [0, 1]Modèle:2. Elle est Modèle:Sfrac-höldérienne.

Mais il n’existe aucune application continue surjective de [0, 1] sur [0, 1]Modèle:2 qui soit Modèle:Mvar-höldérienne pour Modèle:Math. L’argument, donné plus bas, repose sur la notion de dimension.

Mouvement brownien

Le mouvement brownien est une loi aléatoire sur les fonctions continues ${ℝ}_{+}\to ℝ$.

Presque sûrement, une trajectoire du mouvement brownien est localement Modèle:Mvar-höldérienne pour Modèle:Math mais n’est pas Modèle:Frac-höldérienne.

L'étude du mouvement brownien a donné un intérêt nouveau à la condition de Hölder.

Propriétés

• Toute application höldérienne est uniformément continue.
• Une fonction sur un ouvert de ℝⁿ à valeurs dans ℝ^m qui est lipschitzienne est presque partout dérivable : c'est le théorème de Rademacher.
• Au contraire, pour a < 1, il existe des exemples de fonctions a-höldériennes et nulle part dérivables, comme la fonction de van der Waerden-Takagi ou la fonction de Weierstrass. Ces dernières sont définies comme sommes de séries de fonctions.
• Si l’espace métrique (X, d) est de diamètre fini, alors toute application a-höldérienne sur X est bornée.

Régularité de Sobolev

Modèle:Article détaillé Dans cette section, Modèle:Mvar désigne un intervalle ouvert de ℝ.

Une fonction $f:I\to ℝ$ admet une dérivée faible s’il existe une fonction localement intégrable Modèle:Mvar telle que pour toute fonction $\phi$ continument dérivable à support compact dans Modèle:Mvar et à valeurs dans $ℝ$,

$\underset{I}{\int }f{\phi }^{\prime }=-\underset{I}{\int }g\phi$.

Lorsque Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont de classe Modèle:Math, la fonction Modèle:Mvar est dite de classe Modèle:Math.

Pour Modèle:Math, toute fonction de classe Modèle:Math est continue et même Modèle:Mvar-höldérienne pour Modèle:Math.

Une précision est ici nécessaire. À proprement parler, Modèle:Math est un espace de classes fonctions définies presque partout. Cependant, chaque classe contient au plus une fonction continue. Cela prend donc sens, pour un élément de Modèle:Math, de dire qu'il est (ou n'est pas) continu. Le résultat ci-dessus est un cas particulier des inégalités de Sobolev.

Sur le paramètre a

Dans la définition ci-dessus, le paramètre a a été fixé dans l'intervalle ]0,1]. Quelques remarques sont nécessaires sur le choix du paramètre a et son importance.

• Le paramètre a est limité aux valeurs inférieures ou égales à 1 à cause du phénomène suivant pour les valeurs supérieures : une fonction d’une variable réelle qui vérifie la condition de Hölder pour un a > 1 est localement constante (donc constante sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition).
• La plage de valeurs du paramètre Modèle:Math pour lesquelles f est Modèle:Mvar-höldérienne est un sous-intervalle (non nécessairement fermé, mais pouvant aussi être trivial) de ]0,1] ; autrement dit, c'est un sous-ensemble convexe :

si 0 < a < b ≤ 1 et si f est à la fois Modèle:Mvar-höldérienne et Modèle:Mvar-höldérienne, alors elle est Modèle:Mvar-höldérienne pour tout Modèle:Math.

• Certains auteurs incluent dans la définition la valeur a = 0. Les fonctions 0-höldériennes sont alors simplement les fonctions bornées, et la propriété précédente s'étend naturellement : si f est Modèle:Mvar-höldérienne et bornée, alors elle est Modèle:Mvar-höldérienne pour tout Modèle:Math.

Dimension et fonctions a-höldériennes

La dimension de Hausdorff est une bonne définition de la dimension d’un espace métrique. En tout cas, elle étend la définition de la dimension des espaces vectoriels rencontrés en algèbre linéaire.

Les fonctions Modèle:Mvar-höldériennes diminuent la dimension de Hausdorff modulo un facteur $1/a$ :

Si $f$ est une application $a$-höldérienne d’un espace métrique $(X,d)$ dans un espace métrique $(Y,d^{\prime })$, alors

${\dim }_{H}f(X)\le \frac{1}{a}{\dim }_{H}X$.

Application :

Une application continue surjective $[0,1]\to [0,1{]}^2$ ne peut pas être Modèle:Mvar-höldérienne pour $a>1/2$. En effet, la dimension d’un carré [0, 1]Modèle:2 est 2 et n’est pas inférieure à $1/a$ pour $a>1/2$.

Cependant, Giuseppe Peano a donné un exemple d’une application continue surjective Modèle:Sfrac-höldérienne.

Espaces C^0,a

Le ℝ-espace vectoriel CModèle:Exp(X) des fonctions réelles Modèle:Mvar-höldériennes bornées sur un espace métrique (X, d) est complet pour la norme définie par

$\Vert f\Vert =\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|+\underset{x\ne y}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y{)}^a}$.